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数学恩仇录：数学家的十大论战 老 鼠
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尽管我们很难从爱因斯坦所用的“老鼠”这个词猜出它的意思，但在20世纪头10年，希尔伯特也许是当时最伟大的数学家（庞加莱已于1912年去世）。1862年，他生于柯尼斯堡（Konigsberg）的郊区，并在那里接受早期的教育。他的传记作者康斯坦斯·雷德（Constance Reid）说他的早期学校教育很传统，通常都是靠死记硬背，但是“看起来，他只有自己用脑思考一番才能真正理解些东西”(11)。然而他的数学学得很好，这很适合他这种大脑。雷德说希尔伯特的一个侄女后来回忆说，家里人都认为他有一点点痴狂(12)。
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1880年，他进入柯尼斯堡大学，5年后，他在那里获得博士学位。1895年，他成为哥廷根大学的正教授，这所大学已发展成为数不多的不在大城市的数学中心之一。在那时，他已经展现出了他在数学方面的广泛兴趣和卓越能力。在他整个学术生涯中，很少有领域他没有做出原创性贡献的。
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在某种程度上要感谢希尔伯特日益增长的声誉，哥廷根大学的声誉也在急速地增长，该校一直吸引着其他正在成长中的重要数学家，还有教员，也有学生。他们中间有赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909），希尔伯特聘他做教员，他后来成了希尔伯特亲密的朋友和同事。大学还在1899年招入策梅洛作无薪讲师。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl ，1885—1955）在1903年来到哥廷根，那时他还是一个18岁的“农村小伙子”。后来，在新泽西州普林斯顿高等研究院（the Institute for Advanced Study in Princeton，New Jersey）工作时，外尔写道：“那一个学期，希尔伯特宣布开设关于数字的概念和求圆的面积的课，我擅自去听了。对我来说，大部分课都太难了，但一扇新世界的大门为我打开了。”(13)在即将到来的希尔伯特和布劳威尔之间的战斗中，外尔将成为一个重要的参与者。
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在最终爆发的冲突中，希尔伯特广泛的兴趣是一个诱因。他早期的作品《几何基础》将他引回这个数学领域，他对基础问题潜在的兴趣是因素之一。正如我在上一章所说明的，这本书是他运用皮亚诺的原理，用一种严格的公理化方式重新构造欧几里得几何的尝试，尽管没有使用皮亚诺复杂的符号系统。皮亚诺的一个目标就是不借助直觉将数学用形式语言来表达，希尔伯特对此表示怀疑。他还认为用欧几里得几何作为几何的模板和基础是错误的。他和当时的其他人都认为，欧几里得几何有演绎式的结构，但它充满了隐藏的假定、不准确的定义和逻辑错误。希尔伯特希望为几何建立一个更稳固的基础，同时也消除对直觉的依赖。
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几何学的其他进展也引起了他的注意。19世纪早期，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）、雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）、本哈德·黎曼（Bernhard Riemann）和卡尔·高斯已经说明非欧几何是可能的，从而欧几里得的一个主要基本原理（平行公设）不再是正确的。此外，在欧几里得几何中，三角形所有内角的和是180度；而在非欧几何中，可能得到其他的值。希尔伯特认为，为了整合几何，再整合数学，使之更明确，必须通过剔除某些假设的方法来做尝试。
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因为支持康托尔，他实际已经卷入了冲突。他还认为克罗内克的执着威胁了数学的进展。你会回想起，克罗内克想将数学与高度主观的直觉基础紧密联系起来，通过逐步建构，将其限制在一个真切实在的世界里。而希尔伯特正相反，他只要求逻辑表达的一致性。他确信，对于克罗内克极力反对的无理数，不应该排除在数字的世界之外。没有它们，分析领域将沦为不毛之地。
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此外，希尔伯特还认为，为了加强数学的基础，支持康托尔在无穷上的观念将是必要的。他认为这不仅仅是一个数学问题。他写道：“对无穷的性质进行最后的澄清已经变得很有必要，这不仅是为了各门科学的专门利益，也是为了人类对自身理智的尊严。”(14)
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但是，斯蒂芬·G·辛普森（Stephen G. Simpson）在《符号逻辑杂志》（Journal of Symbolic Logic）发表文章称，希尔伯特把无穷数学重构成一个博大精妙的形式体系的想法“导致了一个没有必要的知识灾难”。辛普森说：“这样做很容易被布劳威尔指责为空洞的形式主义。”(15)下面说的就是这种指责是怎样发生的。
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鲁伊兹·埃格伯图斯·简·布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）通常以简称L·E·J·布劳威尔闻名。他1881年2月27日生于奥威斯切（Overschie），这地方现在是荷兰鹿特丹的一个郊区。在校期间，他表现很好。当他还是阿姆斯特丹大学的一个本科生时，就在四维空间的连续运动上做出了原创性工作。这使得位于阿姆斯特丹的皇家科学院在他还未毕业时就出版了他的著作。从1904年到1907年，他从事哲学和神秘主义的研究。1905年，他写了一本名为《生命，艺术和神秘主义》（Life，Art and Mysticism）的书。他的思想反映了一些对时代的浪漫想法，表露出一种对人类主宰自然（也就是世界）的拒绝。这包括反对对环境的开采和征服。作为一个真正的神秘主义者，他否认准确交流的可能性和语言的作用。这些观点都将使他对形式主义添上感情色彩。
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他是什么样的人？他的天才是不容置疑的。对于他的性格，人们用愤世嫉俗、自私自利、神经过敏、情绪化和顽固这样的词来描述。在关于布劳威尔的传记中，范·达伦写道：“布劳威尔是一个神经过敏的人，压力之下，他很容易夸大事实。另外，他对正义有种极端的热情。正如路德维希·比贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach）（后面我们会说到他）所说，他是一个正义狂（Gerechtigkeits-fanatike）。结果，他会在一种完全像是战争的情势中遭遇不正义——不管是针对谁。”(16)
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作为一个学生，他回避社交，不善与人相处。在他最好的朋友（一个杰出的社会主义者、诗人）指引下，他学会了参加社会活动。慢慢地，他极度渴望结交朋友，而且高谈阔论成癖。
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1907年，他从阿姆斯特丹大学获得数学和物理学博士学位。在那里，他的兴趣延伸到了拓扑学和数学基础，对这两门学科，在其一生中，他都作出重要贡献。尽管还只是个研究生，但在当时数学的讨论中，他有一些很强有力的观点，这些想法都体现在他的博士论文《关于数学基础》（On the Foundations of Mathematics）里。
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关于庞加莱和罗素之间的争论，很明显他站在庞加莱一边。他争辩说虽然逻辑主义可能在某些场合有用，但它不能为数学提供一个稳固的基础。尽管罗素在宣扬数学依赖于逻辑，但布劳威尔主张逻辑依赖于数学。另外，尽管希尔伯特还没有完全发展出他在形式主义上的观点，但布劳威尔已经了解希尔伯特有足够多他不喜欢的东西。他批评希尔伯特的观点，举例说，不能保证有一个可以让人接受的数学结构能够满足一个连贯的数学定理的要求。他还对康托尔的超限数理论不满。
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有趣的是，尽管布劳威尔激烈批评希尔伯特的计划，但这似乎不影响希尔伯特对布劳威尔的感觉。毫无疑问，这是因为布劳威尔的论文是用荷兰文写的，流传不广。比如在1909年，他们在迷人的海滨度假胜地席凡宁根（Scheveningen）会面了。显然晤谈很成功。比希尔伯特小19岁的布劳威尔向希尔伯特展现了他的语言和数学水平。后来在一封给朋友的信中，他形容希尔伯特为“世界上首屈一指的数学家。”1912年，希尔伯特不仅帮布劳威尔推荐了阿姆斯特丹大学的一个教授职位（直到那时，布劳威尔还是一个无薪讲师）。后来到1919年，希尔伯特还给他提供了哥廷根大学的一个教授职位——这绝对是一个晋升。但布劳威尔拒绝了（在将要到来的决裂中，这或许是一个原因）。布劳威尔一直呆在阿姆斯特丹大学，直到他1951年退休。
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布劳威尔在拓扑学上的成就和他在基础数学上的观念为他赢得了一致的声誉，尽管在开始的时候他在直觉主义上的观点还不被广为接受。1912年，他被选为荷兰皇家科学院（Royal Netherlands Academy of Science）成员。自那以后，柏林的普鲁士科学院（the Prussian Academy of Science）、美国哲学会（the American Philosophical Society）、伦敦的皇家学会（the Royal Society）都选他为成员。他还获得过几个荣誉博士学位。
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虽然也做过其他的研究工作，但他主要关注基础问题。1908年，他写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》（On the Unreliability of the Logical Principles）。这篇论文认为运用排中律（PEM，the principle of the excluded middle）的数学证明是不合理的。排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧。排中律宣称每一个数学表述要么对，要么错，其他可能性都是不允许的。接着，1912年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
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布劳威尔认为排中律是用得过于自由的逻辑原理的典型。这个原理宣称每一个有意义的表述要么对，要么错，它是所谓间接证明方法的基础，这种方法允许用常规逻辑或利用矛盾的反证法。在这里，如果某命题不正确，我们可以通过实证产生一个逻辑矛盾来证明某些命题正确。布劳威尔拒绝接受排中律，坚持认为第三种情况是存在的。他使用“未决的”（undecided）这个词来称呼那些通过有限的推导步骤还不能决定是对还是错的表述。他经常置疑建立在排中律基础上的数学证明，称它们是“所谓的证明”(17)。
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1920年，他声称：“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……（它）只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不能避免使用这个原理的定理是缺乏数学内涵的。”
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希尔伯特回应道：“把排中律排除在数学之外就像……禁止拳手使用拳头一样。”(18)这个要求确实是个极端的限制，很多数学家和科学家都难以接受，特别是那些经常用到它的人。
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第二年，布劳威尔开始宣传他的观点，这开始成为他余生的事业。尽管在1909年和1913年，布劳威尔在拓扑学领域里取得了优异的成果，但他从来没有发表拓扑学方面的演讲。上过他课的巴特尔·L·范德瓦尔登（Bartel L. van der Waerden）回忆说，他从来不看学生，不问问题，总是在直觉的基础上讲课。
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在后来的采访中，范德瓦尔登说：“看起来，他不再确信他在拓扑学中的成果，因为从直觉主义的观点来说，它们不是正确的。他以前所做的工作、他最伟大的成就和他的错误，他都按照他的哲学来作评判。他是一个很奇怪的人，疯狂地爱着他的哲学。”(19)
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