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数学恩仇录：数学家的十大论战 反 击
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当1922年希尔伯特开始反击时，他写了一篇针对外尔和布劳威尔两人的文章。他首先陈述了他对数学基础比当前所取得的成就更需要深入研究的信念。接着，他写道：“杰出的、成就卓著的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”(22)然后他解释了这样说的原因，并接着陈述他自己的观点。
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他谨慎地指出，他针对连续统基础的方法“并不与直觉相悖。我们从直觉中得出的外延量概念不依赖于数的概念，因此如果我们在数与质量数或数量之间做一个基本的区分，它就会与直觉完全一致。”他接着写道，其他人都曾经仔细研究过这个问题，“如果外尔在这里看到了一个‘基础的内部不稳定，而整个（数学）帝国都建立在这个基础上。’如果他担心‘分析体系的瓦解即将到来’，那么他是见着鬼了。”
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希尔伯特接着说：
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当然，证明公理一致性的问题出现了。这是一个很出名的问题，几十年来我一直关注它。这个报告就是关于这个问题的解决方法的。
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外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础。但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些改革者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样……今天，外尔和布劳威尔也将行不通他们的计划。不，布劳威尔不是外尔所相信的那样是一个革命者，而是一个重复者，他用着旧工具，尝试在当时用横冲直撞的方法发动一场政变，但还是彻底失败了。现在弗雷格、戴德金和康托尔加入了进来，这个阵营有了更多的武装，力量更强了，这种政变注定要失败。
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在一些介绍性的内容之后，他说：“对公理一致性的表述，几乎没有这么认真的，无论是在数论、分析还是在集合论中。”(23)
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在文中，为了回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了经过修订的大胆的新计划，这个计划为形式主义的学派树立了一个更新更牢固的基础。他继续在文中提出了对分析公理一致性的证明的大概想法，把数论建立在数“1”和符号“＋”的基础上。“当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”(24)文中剩下的部分他谈论了别的话题。然而范·达伦说：“希尔伯特从来没有成功地证明过他的论据。这有点像自行车内胎上的一个凸起（原文如此），每次他按下这个凸起，别的地方又冒出另一个。直接地说，这个问题极端的复杂。多年以后，在1936年，杰出的德国数学家格哈德·根岑（Gerhard Gentzen，1909—1945）最终成功地找到了关于超限过程完整而正确的分析方法。”(25)利用根岑的新方法，人们认识到希尔伯特的证明理论是一个极好而又有力的数学工具，对计算机科学尤其有帮助(26)。
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外尔的事迹有一个有趣的后记。同样在1922年的那篇文章中，希尔伯特把布劳威尔和外尔当作一个团伙来抨击，无视他们两人之间观点的显然不同，例如他们对直觉主义的诠释。接着，如我在前面所提到的，大约1925年的时候，外尔开始稍微远离布劳威尔的直觉主义。从那时起，希尔伯特将他的抨击主要集中在布劳威尔的身上，但同时也无视外尔的转变。比如即使迟至1928年，希尔伯特还提起“他的学派将一切都简化为一个游戏”这个批评，并做出回应。但是你会回想起，这是外尔的批评，而不是布劳威尔的。
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这次两人都认识到他们的争端存在于两个水平面上，理解这一点很重要。当然这里也有个人竞争，但两人也都在一个更广的意义上把自己看作救世主。也就是说，两人都认为数学处于一场根本的危机中，他们每个人都认为自己是那个能把数学从衰落和颓败中拯救出来的人。另外，至少希尔伯特的担心更甚。他认为：“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”(27)
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1928年，在他对希尔伯特新方法的一个回应中，布劳威尔写道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受启发多，而且它还有望受益更多。”因此形式主义学派应该给直觉主义一些赞誉，而不是用轻蔑的语气攻击它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主义应该考虑这样一个事实：迄今为止，在形式主义的框架内，正确的数学知识没有哪一样得到了保护（既然公理系统的一致性的证明都还是缺失的）。
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“在另一方面，直觉主义……已经建立了有着不可置疑确定性的数学新基础。”(28)对布劳威尔来说，任何语言，包括形式主义者的，都是有用的，但仅限于交流。布劳威尔的一个博士生阿伦德·海廷（Arend Heyting）在1930年恰当地写道：“建立一套与直觉主义的数学等同的规则系统在理论上是不可能的，因为思考的可能性不能简化为有限几步预先建立的规则。”(29)
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回顾一下，我们可以看到，希尔伯特和布劳威尔在谈论着颇有分歧的观点。他们的分歧中至少有一点卷入了国家感情的冲突——奇怪的是，作为非德藉数学家，在一本黎曼的纪念册上，他强烈反对收入一些法国数学家的名字，这让希尔伯特很恼火。最后，他们的争论牵涉到了更多的个人偏见——双方都这样。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 无情的攻击
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尽管布劳威尔没有希尔伯特那么有名，但他还是在数学界树立了牢固的声誉。1925年和1926年，他开始在诸如《数学年鉴》（Mathematische Annalen）这样的杂志上发表论文。1914年，他被任命为这个备受尊敬的杂志编辑部的成员，从那以后，他谨慎并慢条斯理地为杂志工作着。这项任命是一个荣誉，也是对他在数学界里所受尊敬的表示。
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但即便在这里，他暴躁的脾气也产生了负面影响。费利克斯·克莱因（Felix Klein）是杂志的主编之一，他已经决定要辞职，很显然这是因为和布劳威尔发生争执引起的——这场争执中，布劳威尔实际上是对的，但他表现得太粗鲁了，于是克莱因决定引退。这是一个让人震惊的结果，因为克莱因已经为《数学年鉴》工作了好多年，在某种程度上，他已成为总编辑，为杂志的成功作出了巨大的贡献。
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但希尔伯特也是《数学年鉴》的主要编辑之一。对布劳威尔来说很不幸的是，用今天的话来说，他只能称为助理编辑，而希尔伯特是主编之一。实际上，在克莱因引退之后，希尔伯特接手了大部分的工作，结果这本杂志开始有了“属于”哥廷根大学数学家的名声。我们可以从希尔伯特下一步的行动看到，他们之间的争端升级到了什么地步。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 青蛙和老鼠的战争
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在1928年10月底之前不久，布劳威尔收到了一封来自希尔伯特的信。信是这样写的：
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亲爱的同事：
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既然我们俩在基础问题上的观点无法调和，我和你合作是不可能的了。我已经就授权问题征求过《数学年鉴》执行编辑部成员们的意见，布鲁门萨尔（Blumenthal）和卡拉西奥多里（Caratheodory）（奥托（Otto）和康斯坦丁（Constantin），是另外两位执行编辑，阿尔伯特·爱因斯坦是第四位）已经授权给我通知你，从今往后，我们将放弃与你在编辑《年鉴》上的合作，因此也把你的名字从刊名页上删去。同时，我感谢你以《年鉴》编辑的名义，为了我们杂志的利益在过去所做的努力！
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