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数学恩仇录：数学家的十大论战 等待发现的一堆钻石
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认为数学是一堆等待发现的钻石的人的名单既长又让人印象深刻。你会回想起，康托尔相信“他只是一个报告者，集合论和无穷观念是神展示给他的”（详见第6章）。
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然而，这份名单从久远得多的年代就开始了。柏拉图是最先坚持这种观点的人之一。基本上，他主张有两个世界。实在的世界，也就是真实事物的世界，我们可以通过感官察觉到它；还有一个抽象的世界——精神的世界，也就是思想和观念，比如善良、正义、美和完美的世界。我们所画的圆、方和平行线都是不完美的，它们属于实在的世界。但有地方存在着完美的事物，对于它们我们只能想象得到。它们是理想的、不变的永恒。即使我们消失了，它们还将在那里。同样的观念适合于数和数学函数。简而言之，我们是发现数学真理，而不是发明它们。
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约翰·D·巴罗（John D. Barrow）是当代比较著名的持有绝对主义观点的代表者之一。他是一名作家，也是苏塞克斯大学（the University of Sussex）的一名天文学教授。因为自身的原因，巴罗倾向于使用柏拉图主义这个术语。他写道：“数学实体存在于具有抽象观念的领域里，这对于很多现代数学家来说，会很难接受，但对于300年前像牛顿或莱布尼兹那样的数学家来说，他们会认为数学真理的存在不依赖于人类思维是理所当然的。他们深深相信完美赖以存身的神圣思想（the Divine Mind）的存在，因此他们不会认为完美形式的观念有任何问题。他们的问题在于，如何将他们与不完美及身边的具体事物调和起来。”(5)
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这使我们想起牛顿一段著名的评论。评论中，他形容他自己是一个在海边玩耍的小孩，捡到了一个鹅卵石，或者一个比普通贝壳更漂亮的贝壳，但真理的大海他还没有发现。
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死于1901年的德高望重的法国数学家查理斯·埃尔米特（Charles Hermite）表达了一个类似的观点：“我相信，数字和分析函数不是我们精神的特有产物；我相信，它们存在于我们之外，具有与客观实在的对象同样的必要性；我们就像物理学家、化学家和动物学家一样找到或发现它们、研究它们。”(6)
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伟大的英国数学分析家G·H·哈代（G. H. Hardy）在1929年写道：“对我来说，如果一个数学家通过一种或更多方式不承认数学真理的永恒性和无条件合理性，似乎没有哲学可能会让他满意。数学定理是对还是错、它们的真理或谬误绝对不依赖于我们对它们的了解。在某种意义上，数学真理是客观真实的一部分。”(7)
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我们承认，引用的这些话都是在哥德尔定理（1930—1931）出现之前写的。但即使在它发表之后，绝对主义者的观点仍然很盛行。
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例如，哈代坚持表达同样的绝对主义观点。他在他后来写的书《一个数学家的自白》（A Mathematicians Apology，1949）中写道：“我相信，数学真实存在于我们之外，我们能做的就是发现或观察它，我们证明的、大而不当地称之为我们‘创造’的定理只是我们观察的记录。”(8)
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1945年，重要的法国数学家雅克·阿达马（详见第7章）在他的《数学领域的发明心理学》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中说：“尽管我们对真理还不了解，但它先于我们而存在，我们不可避免地要遵循它为我们设定的路。”(9)
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你也许已注意到，前一节结尾的莫里斯·克莱因的话中，他称发现的精华之物为钻石，而那些人造的东西则是“如此耀眼……以至于他们晃晕了数学家们的眼睛，而那些数学家已经被他们自己的创造所带来的骄傲弄得有些忘乎所以了”。似乎很清楚，对他来说，发现的精华之物是真正的钻石。克莱因的比方是1980年写的。
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正如我们在前面看到的，持有这些观点的作者有时候被称为柏拉图主义者。然而克莱因相信，这个词有一个问题。他说，柏拉图确实相信数学存在于某个人之外的理想世界中，但是柏拉图的学说不适用于今天的世界。于是克莱因主张，“运用柏拉图主义者这个称呼没有益处，它更不合适。”(10)
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巴罗显然很不同意这种说法。他指出，实际上，“1934年后，这种数学哲学只以‘数学的柏拉图主义’变得广为人知。这一年，保罗·伯尔内斯（Paul Bernays）这样形容这种数学哲学。他是希尔伯特发展形式数学系统的一致性证明的密切合作者。”(11)无论如何，绝对主义和柏拉图主义两个词，都得到了广泛的使用。
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巴罗对关于基础数学论辩中的一方作了概括：
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柏拉图主义关于事实的观点对很多现代科学家和数学家起了潜移默化的影响。它看起来简单、直接、鼓舞人心。在我们的周围，有一个数学真理的海洋还未被发现；我们探寻它，去发现它无尽疆域新的部分。数学真理的广阔天地不依赖于数学家而存在。即使根本没有数学家，它也会存在——的确，一旦它在过去被发现，可能在将来的某一天它还会被再次发现。数学是由一系列对于独立事实的发现所组成的，这些事实包括数字、集合、图形等等这类东西。(12)
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他接着提了一个有趣的观点：“如果我们的思想从真实世界得到一个特别的数学工具，那么很有可能，这是一个进化过程的结果，即选择如何描绘与表述这个世界，因为它们（数学工具）最忠实地反映了这个世界真实的图景。”(13)
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也许在绝对主义/柏拉图主义者的观点中，最著名的例子要数库尔特·哥德尔的。他这样形容逻辑学家和集合论者研究的实体：“尽管它们远不是我们能感觉到的，但我们确实也类似有一种对集合论研究对象的感觉，就像从公理就是真的，我们必须接受这样一个事实中所看到的那样。”(14)
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最后，巴罗说：柏拉图主义“不能洞见这样的事实：在那些离我们日常生活最远以及那些直接影响我们进化历史的领域，它们的性质最好用我们的智力创造来描述。最终，我们不得不认为，人类没有真正聪明到‘发明’数学”(15)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学知识是创造的
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那些站在对立一方的人很显然不同意绝对主义和柏拉图主义的观点，他们相信数学的进步是人类创造的。这一方有着同样一大批杰出的倡导者。
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一个典型的例子是18世纪伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant），他认为新数学的源泉存在于人类大脑的微妙运转中。他主张，我们的大脑已经按照空间和时间的形式建构起来了。他称这些形式为直觉。空间和时间是我们的大脑认识世界的过滤器，它们有助于我们理解和思考我们经常遭遇到的感觉。数学的发展与人类智慧本身的渐进同步发展。数学的公理和定理是先验综合判断，这使它们有别于基于分析/感觉的经验。这些观点导致的结果是：当说到易误论时，某些作者用康德哲学（Kantianism）这个词。
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在庞加莱著名的文章《数学的创造》（Mathematical Creation，1908）中，他问：“什么是数学的创造？”然后回答道：
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它不在于把已经知道的数学知识做一些新的组合。任何人都可以那样做，但这样的组合将是没有穷尽的，它们中的大多数也绝对没有趣味。创造只在于不做无用的组合，只做那些有用的、数量极少的组合。创造意味着洞察力、选择……
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