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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学知识是创造的
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那些站在对立一方的人很显然不同意绝对主义和柏拉图主义的观点，他们相信数学的进步是人类创造的。这一方有着同样一大批杰出的倡导者。
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一个典型的例子是18世纪伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant），他认为新数学的源泉存在于人类大脑的微妙运转中。他主张，我们的大脑已经按照空间和时间的形式建构起来了。他称这些形式为直觉。空间和时间是我们的大脑认识世界的过滤器，它们有助于我们理解和思考我们经常遭遇到的感觉。数学的发展与人类智慧本身的渐进同步发展。数学的公理和定理是先验综合判断，这使它们有别于基于分析/感觉的经验。这些观点导致的结果是：当说到易误论时，某些作者用康德哲学（Kantianism）这个词。
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在庞加莱著名的文章《数学的创造》（Mathematical Creation，1908）中，他问：“什么是数学的创造？”然后回答道：
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它不在于把已经知道的数学知识做一些新的组合。任何人都可以那样做，但这样的组合将是没有穷尽的，它们中的大多数也绝对没有趣味。创造只在于不做无用的组合，只做那些有用的、数量极少的组合。创造意味着洞察力、选择……
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就像实验事实能引导我们得到物理定律一样，通过与其他事实的类比能引导我们得到数学定律，这样的事实才是值得研究的数学事实。它们向我们揭示其他事实之间不容置疑的亲密关系，虽然我们很久以前就了解它们，但我们错误地认为，这些事实之间没有关系。
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在这篇文章的另一处，他写道：“在开始的时候，最让人印象深刻的是突然出现的启示，这是长期无意识的前期工作的结果。对我来说，在数学创造中，这种无意识工作的重要性是无可争辩的。”(16)
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约瑟夫·道本说：“格奥尔格·康托尔大体上发明了超限集合论，这时他发现，某些点集可以推广开来用以解决与三角级数相关的非常复杂的问题，这些点集与所有自然数集合的性质之间有着确定的关系。”(17)
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对于为什么某个数学家成了一个小说家，戴维·希尔伯特有一个绝佳的解释：“这很简单的。对于数学，他缺乏足够的想象力；但对于写小说，他有。”(18)
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杰出的美国物理学家珀西·W·布里奇曼（Percy W. Bridgman）在1927年说：“数学是人类的发明，这是最起码的真实，即便未经训练的观察，都会很快明白这一点。”(19)
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爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）和詹姆斯·纽曼（James Newman）在1940年说：
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只是在最近，非欧几何和四维几何的出现，才第一次有了好机会给数学一个有意义的评价。这并不是说微积分、概率论、关于无穷的算术、拓扑学等领域的进步作用小。它们中每一个进步都拓展了数学，深化了它的意义，同时也加深了我们对自然世界的理解。但它们中没有哪一个有助于我们对数学的反省，有助于对数学各部分之间的关系，以及它们与非欧几何整体之间关系的理解。
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作为创造出非欧几何这个异端的勇敢批判精神的结果，我们克服了“数学真理的存在独立于我们的智慧之外”这个观念。这样一种观念曾经存在过，对我们来说，甚至都感到奇怪(20)。
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匈牙利出生的数学哲学家伊姆雷·拉卡托斯（Imre Lakatos）在对于绝对可靠论者（infallibilist，他对绝对主义者的称呼）的反对理由中，从非欧几何的角度出发，进一步做了详细说明。在他广受赞誉的名著《证明与反驳》（Proofs and Refutations，1976）中，他解释道：
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正是欧几里得方法的绝对可靠论者的哲学背景孕育了数学中权威的传统方式，阻碍了猜想的发表和讨论，使数学批评的兴起成为不可能。文学批评能够存在，因为我们可以无需考虑一首诗是否完美就去欣赏它；但只有数学和科学结果产生了完美的真理，我们才会去欣赏它们。一个证据之所以能成为证据，只有它能证明某些东西；它要么能证明，要么不能。在1847年，一个有瑕疵的证明也可以是受人尊敬的，这是一个革命性的观念。不幸的是，这个观念在今天看来，仍然具有革命性。
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在19世纪40年代，证明和反驳的方法被发现，这不是一个偶然，当时牛顿光学已经被人抛弃（通过菲涅耳（Fresnel）在19世纪10—20年代的研究成果），非欧几何也被发现（1829年，罗巴切夫斯基；1832年，波尔约），绝对可靠论者的妄想粉碎了(21)。
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对易误论者的指责中，有一条是“每个事物的运行”和/或每个人的观念都和其他的一样好。另一个是易误论者相信社会力量塑造数学，所以数学受时代风潮的影响，而不是被自身的逻辑进程所推动。
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英国苏塞克斯大学数学教育专家及一份数学教育期刊的编辑保罗·恩斯特认为，这些主张和结论构成了一幅讽刺画，有水平的易误论者没有谁会接受它们。他写道：“易误论并不意味着部分或全部的数学可能是错的（尽管哥德尔的不完备定理说明我们不能消除数学会产生矛盾的可能性）……第二个针对易误论的批评是：如果数学不是绝对需要的，那么数学应该是任意或反复无常的。”
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他接着说：
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正如现实主义者经常讽刺相对主义在科学中的社会建构主义观点一样(22)，易误论者的观点的作用也没有得到足够的承认。因为尽管易误论者相信数学具有在某些时候容易犯错和随着历史的变化而改变的特点，但他们也主张，数学知识在很大程度上是必需的、稳定的、独立的。一旦人类创造出某种能够在实际生活中运用这些规则的东西，比如象棋、数论或者Mandelbrot集，从隐藏着的一群规则里显示出来的含义和形式可能会继续让我们吃惊。但不会改变这样的事实：我们首先“发明”了这个游戏。它只是表明这是一个内涵丰富的发明。正如18世纪伟大的哲学家简巴蒂斯塔·维柯（Giambattista Vico）所说：我们能确定知道的真理就是我们创造了我们自己。毫无疑问，数学是这种创造中最伟大的(23)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学既是发明的，又是发现的
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正如我们会想象得到的，也有一些人采取中立的立场，他们相信数学既是发现，又是发明。这些处在“两个阵营”之间的人中有亨利·庞加莱和查理斯·埃尔米特，后者是庞加莱的老师。例如，庞加莱的文章《数学的创造》（Mathematical Creation）似乎支持易误论的观点，但他还写了一篇名为《数学的发现》（Mathematical Discovery）(24)的文章。埃尔米特的观点很奇特。或许要归因于他的宗教信仰，康托尔的工作是创造而不仅仅是发现，赫尔米特对此很恼火。而神也认为发生这样的事也没有什么不妥。换句话说，正如在集合论上所做的工作一样，康托尔正竭力渗进应该由神来支配的领域，在这些领域，神似乎也会及时地亲自向人们揭示真相。
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1902年，伯特兰·罗素写道：“不仅数学独立于它自己和我们的思想，而且在另一种意义上，我们和整个存在物的宇宙独立于数学。”但正好在同一篇文章（《数学研究》（The Study of Mathematics））的下一页，他还写道：“理性不能支配事实的世界，但事实也不能限制理性的特权，即对美与真的求索。在这里，正如在其他地方一样，我们在从世界里发现的碎片上树立我们自己的理想；最后，很难说结果是创造还是发现。”(25)因此我们不得不把罗素归入未定的阵营。
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