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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学既是发明的，又是发现的
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正如我们会想象得到的，也有一些人采取中立的立场，他们相信数学既是发现，又是发明。这些处在“两个阵营”之间的人中有亨利·庞加莱和查理斯·埃尔米特，后者是庞加莱的老师。例如，庞加莱的文章《数学的创造》（Mathematical Creation）似乎支持易误论的观点，但他还写了一篇名为《数学的发现》（Mathematical Discovery）(24)的文章。埃尔米特的观点很奇特。或许要归因于他的宗教信仰，康托尔的工作是创造而不仅仅是发现，赫尔米特对此很恼火。而神也认为发生这样的事也没有什么不妥。换句话说，正如在集合论上所做的工作一样，康托尔正竭力渗进应该由神来支配的领域，在这些领域，神似乎也会及时地亲自向人们揭示真相。
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1902年，伯特兰·罗素写道：“不仅数学独立于它自己和我们的思想，而且在另一种意义上，我们和整个存在物的宇宙独立于数学。”但正好在同一篇文章（《数学研究》（The Study of Mathematics））的下一页，他还写道：“理性不能支配事实的世界，但事实也不能限制理性的特权，即对美与真的求索。在这里，正如在其他地方一样，我们在从世界里发现的碎片上树立我们自己的理想；最后，很难说结果是创造还是发现。”(25)因此我们不得不把罗素归入未定的阵营。
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另外，即使是巴罗这个公开承认自己是柏拉图主义者的人也意识到，对克莱因提出的问题的解答既不简单也不是显而易见的。例如，他问道：“另一个世界在哪里？我们怎样才能与之建立联系？我们的理智怎样才有可能与柏拉图的‘王国’有联系，从而我们的头脑状态被这种经验所改变？很多信服柏拉图哲学的数学家都深深地受到他们自己和其他人直觉的影响。他们都有这样的经验：只是‘看到’某些数学定理是对的。这种经验看起来就像是数学真理通过一阵‘直觉’突然袭来的，这种直觉等于就是发现。”(26)
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奇怪的是，直觉的因素是绝对主义思想的基石之一——这就是说，数学真理是通过数学家的直觉发现的，然后通过各种证明方法，它们得以正确地建立。
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巴罗接着说：“即使在数学家中间，这种对数学结构无感觉的意识也是一种变化很大的能力。于是柏拉图主义者会认为，比起其他人来说，最好的数学家能更经常更清楚地接触柏拉图的理念世界。”(27)
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英国牛津大学的数学教授罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在他的书《皇帝新脑》（The Emperor’s New Mind，1989）中说，他是“数学是发现的”观念的忠实信徒，但他加了一个转折。他说，也许问题不是那么简单。他提出：
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数学中有些东西用“发现”这个词来形容，确实比“发明”好得多……好比这样一些例子：从它们的结构中得出的东西远比开始时放进去的多（例如Mandelbrot结构）。我们可以认为，在这些例子中，数学家偶然发现了“上帝的杰作”（照康托尔的方式）。但是也有一些其他的例子，其中的数学结构没有那么引人注目的独特性，比如，在某个结果的证明中，在什么时候，为了得到某个很明确的答案，数学家发现需要引入某种人为的、一点都不独特的结构。在这些例子中，从那些结构中得到的可能不比开始时放进去的多，这样，“发明”这个词看起来就比“发现”这个词更合适了。确实，有一些东西就是“人类的杰作”。在这个观点上，一般来说，人们会认为，对比“纯粹的”发明，真正的数学发现是更伟大的成就和激情(28)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 数学教育中有危机吗？
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绝对主义者和易误论者之间的争论不仅限于在高调的数学哲学领域，它们在各个领域展开，或许最激烈的还是在数学教育领域。
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虽然一系列的研究似乎都表明，绝对主义仍然是主流观点，但易误论者至少已经将他们的立场渗透进了数学课程，特别是英国和美国。正如我在前文所说的，一个很大的改变是，在20世纪60年代，集合论的符号和公理已经融入了中学的数学教学。
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加州大学伯克利分校的数学教授伍鸿熙（H. Wu）写道：
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到1986年最近的改革想法出台的时候——这一年，NCTM（全国数学教师委员会，National Council of Teachers of Mathematics）召开了第一次会议，制定了NCTM标准，传统课程中“证明”的观念已经变得不存在了，或者说已经退化成无意义的形式。对于那些在20世纪40年代和50年代上学的人来说，这种做法会让他们感觉奇怪，因为我们中的不少人曾经被欧几里得几何——这是求证问题的精华部分——吸引过，从而成为数学家。但现在，欧几里得几何也许是学校数学教学中最被贬低的部分。发生了什么？经历了20世纪60年代的“新数学运动”（New Mathematics）和70年代的“回归基础运动”（Back-to-Basics Movement）之后，学校的数学课程显得过于简单，太缺少难度了(29)。
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这样在美国，特别是在英国，掀起了很高的呼声，认为：在过去的20年，学生的数学能力在不断减弱。这与数学界发生的重要变革是同步的。这并不能证实教学法的改变是值得指责的，但在很多至今仍持绝对主义观点的数学家中间，仍怀有很深的怀疑。
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对这种针对易误论思想的挑战，不会没有反击。比如保罗·恩斯特说：“他们的抱怨（即是说绝对主义者的抱怨）过时了。自从1851年的世界博览会（the Great Exhibition）开始，学校的数学教育就饱受批评。人们指责布尔战争的失败是差劲的数学教育导致的。本世纪，工业的相对衰退也被指责为是学校数学和科学教育的结果。”
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恩斯特说，真正的问题是“太多的中学高级水平课程（A level）的数学和大学数学教育过时了，也让人厌烦”。看起来，问题不在于改变得太多，而是改变得不够。
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人们指望学生们学习课本知识和解题技巧，回到应付考试的老路上去，而不是让他们体验研究和应用真正数学的快乐。学生们被剥夺了体验“真正数学”的机会，而我们只是给他们提供掺了水的替代品。这些呼吁都没有起到任何作用。
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相反，问题是，学生们被要求做很多无意义和重复的练习……这种让人遗憾的情形不是因为数学教育变得太“温和”了，而是因为它再也不能激起学生的热情和兴趣了。为什么像分形论（Fractals）和混沌理论（Chaos Theory）这样激动人心的新观念都没有纳入学校教育中？
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恩斯特接着说：
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不容人置疑的绝对主义者观点跟女学生讨厌数学有极大关系。
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如果数学有了危机，我会说这种危机就存在于某些大学数学教授的态度中，他们到处找问题，就是不找自身的原因。无论是回归基础运动还是以温和教育为中心的革新论，都不会解决数学教育面临的问题。像我这样的数学教育工作者和研究者都承认，我们都需要做得更好，想出更多办法(30)。
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事实上，不是每个人都同意数学教育衰落了。在一部分人当中，他们对于某些问题有根本的分歧：学生应该在数学中学什么；同时，他们应该学些什么其他的东西，他们是否能学会；在校期间，他们需要掌握哪些技能；在后来他们需要这些知识和技能时，他们能记起多少。
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加州大学伯克利分校的教育学教授阿兰·H·萧恩菲尔德（Alan H. Schoenfeld）认为，这场运动才刚刚开始，我们现在只有一些初步的数据。他写道：“不过这些数据表明，改革的最初几步看起来正朝正确的方向上走。”他基本上同意恩斯特的说法，“在好几个领域，不仅包括课程，还包括发展教学团体及改进评估方法方面，我们都需要做多得多的工作。”(31)
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