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数学与知识的探求 （这些）科学发现主要地—在某些领域中是完全地—依赖于数学。
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内容提要
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本书以一个数学家的睿智，探讨了自古希腊以来，尤其是自伽利略以来，数学在现代自然科学发展演化中的作用。
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首章利用现代心理学生理学的错觉实验说明感官知觉之不可靠。其实古希腊人已领悟了这一点，因而求助于数学来研究自然现象成了古希腊的传统，这也是古希腊天文学兴起的原因（第2、3章）。无论是托勒密的地心说还是哥白尼开普勒的日心说，追求数学上的简单和完美成了探求自然知识的动力（第4章）。笛卡儿为科学建立了基于数学的严密方法论，而现代科学之父伽利略，其科学研究纲领的前提则是：自然之书是用数学这门语言撰写的（第5章）。本身就是伟大的数学家的牛顿，其科学巨著就冠以《自然哲学的数学原理》（第6章）。麦克斯韦方程组能揭示人的感官所不能及的电磁世界，充分显示了数学的穿透力（第7章）。20世纪的两项重大科学发现——相对论和量子论——其基本物理思想和数学工具之间有着奇妙的对应（第8～10章）。这就引发了这样的问题，数学知识本身又从何而来？数学与物理实在的关系是什么（第11、12章）？
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书中没有铺陈数学知识，数学只是像一位垂帘听政的皇后一样若隐若现。因此，想了解古今自然观或科学方法论的人文社会科学研习者可以从中受到启发，而自然科学研习者读此书则可以引发对于其专业领域的反思。而这正是作者所孜孜以求的：在自然科学和人文社会科学之间搭起一座桥梁。
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数学与知识的探求 前言
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我们如何获取关于外部世界的知识？人人都不得不依赖于自己的感官知觉——听觉、视觉、触觉、味觉和嗅觉——来进行日常事务并享受某些快感。这些知觉向我们显露关于外部世界的很多信息，然而总的来说是粗糙的。如笛卡儿所言，感官知觉乃感官迷惑，此言也许过重了。现代的仪器如望远镜确实大大扩展了我们的知觉，然而这样的仪器之可用性是有限的。
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重大物理现象根本就不是感官知觉到的。感官没有向我们显示地球绕其轴旋转并绕太阳公转，也没显示维持行星绕太阳公转的力之本性。电磁波能使我们收到几百甚至几千英里外发射的广播和电视节目，而感官对于电磁波本身一无所知。
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这本书对于数学的日常应用，如确定一座50层大楼的高度，不多涉及。读者将会悟到感官知觉之限度，不过我们的主要兴趣是，描述仅靠数学手段对于物理世界之实在知道些什么。我将描述数学对于现代世界的重大现象披露了什么，而不是铺陈数学知识。诚然，经验和实验在探究自然中也起了作用，不过，本书将表明，这些手段在许多领域起了次要作用。
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在17世纪，布莱泽·帕斯卡尔为人类之无助而悲哀。然而今天我们自己创造的一种极有力的武器——即数学——给予了我们关于物理世界巨大领域的知识并使我们掌握了控制权。大卫·希尔伯特，现代首屈一指的数学家，1900年在国际数学大会上的演讲中说道：“数学是一切关于自然现象的严格知识之基础。”我们有充分理由补充说，对于许多重要的现象，数学提供了我们所能有的唯一的知识。事实上，一些科学分支只是由一套数学理论组成，并饰以几个物理事实。
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与学生在学校里所获得的印象相反，数学不只是一系列技巧。数学向我们显露关于某些我们还未知的，甚至从未臆度过的重要现象，在某些情况下甚至显露与知觉矛盾的道理。它是我们关于物理世界的知识之精华。它不但超出了知觉之域而且大大优于知觉。
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数学与知识的探求 致谢
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我感谢牛津大学出版社为此书所做的耐心细致的工作。我还想谢谢我的妻子海伦以及曼若琳·曼那维茨小姐，她们仔细阅读并打印了手稿。
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布鲁克林，纽约
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1985年3月
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莫里斯·克莱因
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数学与知识的探求 历史概观：外部世界存在吗？
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哲人是这样的人，他知晓其他人知之甚少的某些事情。
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笛卡儿
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