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数学与知识的探求 前言
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我们如何获取关于外部世界的知识？人人都不得不依赖于自己的感官知觉——听觉、视觉、触觉、味觉和嗅觉——来进行日常事务并享受某些快感。这些知觉向我们显露关于外部世界的很多信息，然而总的来说是粗糙的。如笛卡儿所言，感官知觉乃感官迷惑，此言也许过重了。现代的仪器如望远镜确实大大扩展了我们的知觉，然而这样的仪器之可用性是有限的。
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重大物理现象根本就不是感官知觉到的。感官没有向我们显示地球绕其轴旋转并绕太阳公转，也没显示维持行星绕太阳公转的力之本性。电磁波能使我们收到几百甚至几千英里外发射的广播和电视节目，而感官对于电磁波本身一无所知。
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这本书对于数学的日常应用，如确定一座50层大楼的高度，不多涉及。读者将会悟到感官知觉之限度，不过我们的主要兴趣是，描述仅靠数学手段对于物理世界之实在知道些什么。我将描述数学对于现代世界的重大现象披露了什么，而不是铺陈数学知识。诚然，经验和实验在探究自然中也起了作用，不过，本书将表明，这些手段在许多领域起了次要作用。
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在17世纪，布莱泽·帕斯卡尔为人类之无助而悲哀。然而今天我们自己创造的一种极有力的武器——即数学——给予了我们关于物理世界巨大领域的知识并使我们掌握了控制权。大卫·希尔伯特，现代首屈一指的数学家，1900年在国际数学大会上的演讲中说道：“数学是一切关于自然现象的严格知识之基础。”我们有充分理由补充说，对于许多重要的现象，数学提供了我们所能有的唯一的知识。事实上，一些科学分支只是由一套数学理论组成，并饰以几个物理事实。
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与学生在学校里所获得的印象相反，数学不只是一系列技巧。数学向我们显露关于某些我们还未知的，甚至从未臆度过的重要现象，在某些情况下甚至显露与知觉矛盾的道理。它是我们关于物理世界的知识之精华。它不但超出了知觉之域而且大大优于知觉。
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数学与知识的探求 致谢
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我感谢牛津大学出版社为此书所做的耐心细致的工作。我还想谢谢我的妻子海伦以及曼若琳·曼那维茨小姐，她们仔细阅读并打印了手稿。
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布鲁克林，纽约
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1985年3月
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莫里斯·克莱因
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数学与知识的探求 历史概观：外部世界存在吗？
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哲人是这样的人，他知晓其他人知之甚少的某些事情。
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笛卡儿
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哲学家之言有尽人类荒谬之极者。
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西塞罗
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整部哲学不是像在用蜜撰写吗？乍看很奇妙，再看消失殆尽，只剩下黏稠的污痕。
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爱因斯坦
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有独立于人类的物理世界存在吗？山脉、树木、陆地、大海、天空，无论是否有人在场感知，它们都存在吗？这似乎是愚蠢的问题。当然存在。我们不是常常观察这世界吗？我们的感官不是不断地提供这世界存在的证据吗？然而，深思之士却不会对显而易见的东西不屑考问，即便只是为了确证也要问一问。
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我们从哲学家开始。这些爱智者，多少世纪以来深思细考了关于人类和世界的所有问题，然而像单恋的痴情者一样常常感到失落。最伟大的哲学家中有人思考过关于外部世界存在的课题。有否认其存在者，也有承认其存在者，不过这些人又认真地怀疑我们对于外部世界了解了多少、我们的知识有多可靠。杰出的哲学家伯特兰·罗素在其《我们关于外部世界的知识》（Our knowledge of the external world）一书中写道：“自古至今，比起其他学问，哲学自认为有资格获得的极多而实际成果却极少。”尽管如此，我们还是应考察一下某些哲学家不得已而言之者为何。我们将集中讨论那些认真考问过我们关于外部世界的知识的哲学家。
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第一个探讨此问题的是大约公元前500年的希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus）。赫拉克利特并不否认外部世界的存在，但坚持世上任何事物都常变。用他的话来说，人不能两次踏进同一条河流。从而我们自认为收集到的关于物理世界的事实在下一瞬间就不再存在。
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