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数学与知识的探求 历史概观：外部世界存在吗？
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哲人是这样的人，他知晓其他人知之甚少的某些事情。
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笛卡儿
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哲学家之言有尽人类荒谬之极者。
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西塞罗
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整部哲学不是像在用蜜撰写吗？乍看很奇妙，再看消失殆尽，只剩下黏稠的污痕。
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爱因斯坦
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有独立于人类的物理世界存在吗？山脉、树木、陆地、大海、天空，无论是否有人在场感知，它们都存在吗？这似乎是愚蠢的问题。当然存在。我们不是常常观察这世界吗？我们的感官不是不断地提供这世界存在的证据吗？然而，深思之士却不会对显而易见的东西不屑考问，即便只是为了确证也要问一问。
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我们从哲学家开始。这些爱智者，多少世纪以来深思细考了关于人类和世界的所有问题，然而像单恋的痴情者一样常常感到失落。最伟大的哲学家中有人思考过关于外部世界存在的课题。有否认其存在者，也有承认其存在者，不过这些人又认真地怀疑我们对于外部世界了解了多少、我们的知识有多可靠。杰出的哲学家伯特兰·罗素在其《我们关于外部世界的知识》（Our knowledge of the external world）一书中写道：“自古至今，比起其他学问，哲学自认为有资格获得的极多而实际成果却极少。”尽管如此，我们还是应考察一下某些哲学家不得已而言之者为何。我们将集中讨论那些认真考问过我们关于外部世界的知识的哲学家。
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第一个探讨此问题的是大约公元前500年的希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus）。赫拉克利特并不否认外部世界的存在，但坚持世上任何事物都常变。用他的话来说，人不能两次踏进同一条河流。从而我们自认为收集到的关于物理世界的事实在下一瞬间就不再存在。
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与此相反，伊比鸠鲁（Epicurus, 公元前341—前270）坚持这一基本原则：我们的感官是到达真理的绝对可靠的向导。感官告知我们，物质存在，运动发生，最终的实在是由存在于真空中的原子组成的物体。它们一直存在，不可毁坏，并且不可分不可变。
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古今最有影响的哲学家柏拉图（Plato, 公元前341—前270）也对此问题感兴趣。他承认一个外部世界的存在，但却得出这样的结论：通过感官感知的世界是混杂的，变化多端，永不停息，是不可靠的。真正的世界是理念的世界，不可变不朽坏。不过这理念世界不能由感官而只能由心智来把握。观察是无用的。在《理想国》（Republic）中，柏拉图明确地论述，表象后的实在才是天生的、数学的。理解实在就是从表象中抽绎出实在，而不是将实在强加于表象。数学是真正存在的基础，是永恒实有的。柏拉图强调数学的重要性，把它构想成关于抽象的、非物质的理想理念的更普遍系统的组成部分。这些理想理念是完美的模型，而宇宙中任何事物，不管是物质的、伦理的，还是美感的，都力图臻于完美。柏拉图在《理想国》中说道：
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但是如果任何人试图获知感官的东西，不管瞪眼向上还是眯眼向下，我都不会说他会真正获知什么——因为这永远得不到真知；同样我也不会说他的灵魂在向上看，而是向下，哪怕他是仰面浮在海上或躺在陆地上在研究。
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普鲁塔克（Plutarch）在其《马塞卢斯生平》（Life of Marcellus）中叙述道：柏拉图的两个著名的同时代人，优道克苏斯（Eudoxus）和阿球塔斯（Archytas），以物理论据来证明数学结果。柏拉图义愤填膺地谴责此类证明乃几何学的堕落：那是以感官事实来取代纯粹的推理。
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柏拉图对天文学的态度可说明他关于我们应探求的知识的观点。他说，这门科学并不关乎可见天体的运动。天空中星辰的布置和其表观运动的确奇妙美观，但这只是观察和对运动的解释，离真正的天文学相差很远。在达至这门真正的科学之前我们必须将天空搁置一边。因为真正的天文学研究的是数学天空中真正星辰的运动规律，而可见天空只是数学天空的不完美的表现。通过苏格拉底之口，柏拉图告诉我们天文学家的要务，这些话现在已很著名：
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这些绘在天上的火花，既然它们是可见表面上的装饰物，我们必须认为是最美妙、最精确的物体，但我们必须承认它们离真理还很远，即以真正的数和真正的图形来度量的实在的速度和实在的缓慢的运动。……而这些只能根据推理和思想来把握，而不是根据视觉。（因此，）如果我们想参与真正的天文科学，就必须（只是）将天空的纹章作为模式来帮助我们研究那些真正的实在。
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这种天文学概念会使具现代头脑的人震惊，学者们毫不犹豫地谴责柏拉图，认为他对感官经验的贬低是科学进展的严重阻碍。然而我们应该承认，这里分配给天文学家的任务恰好就是几何学家成功地遵循的路径。几何学家研究三角形在头脑中的理想化而不是个别三角形的物体。在柏拉图的时代观测天文学已达到当时所能达到的极限，也许他所想的是进一步的发展有待于对所积累的资料进行严格的思考和理论化。
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柏拉图的抽象理想概念的确不幸地阻碍实验科学的进步达数个世纪之久。这概念隐含着这样的意思：真正的知识只能通过对抽象理念的哲学沉思才能获得，而不是通过观察实在世界中偶然的不完美的事物。
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然而，过去与现在都有哲学家承认外部世界的存在，并相信我们可以通过感觉获得可靠的知识。与柏拉图针锋相对，亚里士多德（Aristotle）不仅断言一个外在于人类的世界的存在，而且坚持我们关于世界的观念是这样得到的：我们从世界中抽象出对于我们所感知的某一类物质客体共同的东西，如三角形、球形、树叶与山。他批评柏拉图太关注于非现实的另一世界，还将科学还原为数学。从字面上说，亚里士多德是一个物理学家，相信作为第一实体和实在的本源的物质事物的存在。物理学，一般地说，所有科学必须研究物理世界并从中得到真理。这样，真正的知识是从感官经验、直觉和抽象中得到的。这些抽象物不独立于人的头脑而存在。
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为达到真理，亚里士多德利用他所说的共相，即从真实事物中抽象出的普遍性质。用他的话来说，我们必须从对我们来说可知可观察的事物开始，然后依次进展到那些从本性上说更清楚更可知的事物。他取出物体的明显的可感性质，使其实体化，并把它们提升到独立的心智概念。具体地说，在中央大地之上（包括所有的水），是空气所占据的区域；更高处，直到月亮，是一我们称之为火的实体，尽管实际上它是火与空气的混合物。它们的存在取决于“四要素”：热、冷、干、湿（参见第5、第10章）。这四要素可以六种方式两两组合，不过其中两种组合——热与冷、干与湿——按其本性是不可能的，剩下的四对组合产生了四种元素。这样，地是干而冷，水是冷而湿，空气是热而湿，火是热而干。这些元素不是永恒的，相反，物质持续地从一种形式变化到另一种形式。从地球直到月亮的整个宇宙不断变化、朽坏、死亡、腐败，正如气候和地质现象所生动显示的。
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尽管古希腊哲学家的观点的影响是确凿无疑的，人们却倾向于置其不顾，因为虽然他们的文化强调数学的重要，但他们生活在一个可合理地称之为前科学的世界。他们实验不多，在整体上与我们今天所知的科学世界相分离。
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在中世纪，人们不再关心外部世界，神学是人们的首要关注对象。直到文艺复兴时期哲学家才以强烈的兴趣转向物理世界。尤其在西欧，近代哲学自那时肇始，随之而来的是对科学的新兴趣。
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莱内·笛卡儿（René Descartes, 1596—1650）是近代哲学的奠基者。他的《方法谈》（On the Method of Rightly Conducting the Reason and Seeking Truth in the Science, 1637）中包括的三个附录“几何学”、“折射光学”、“气象学”是经典之作。尽管笛卡儿认为他的哲学和科学学说颠覆了亚里士多德主义和经院哲学，在内心深处他还是一个经院哲学家和亚里士多德主义者。他步亚里士多德的后尘，从自己的头脑中抽绎出关于存在和实在本性的命题。也许正因为此，他的著作比那些开始从观察和实验中获取真理的探索对17世纪产生了更广泛的影响。观察和实验这两个源泉是与传统格格不入的。
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考虑到有这样的逻辑可能性：他的所有信念都是错误的，笛卡儿寻找一个建立真理大厦的坚实基础。他发现只有一个事实他可以确信——我思故我在（I think, therefore I am）。因为他认识到自己是有限的和不完美的，他推断道，这种有限感隐含着必有一个无限完美的存在，他借此衡量自己。这存在，上帝，必存在，因为如果他缺少了存在这基本性质，他就是不完美的。对笛卡儿来说，上帝存在这一结论，对于科学来说比对于神学更重要。因为它提供了可能性来解决客观世界的存在这中心问题。
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因为我们对外在于我们头脑的世界的知识是通过感官印象而来，就出现了这样的问题：除了感官印象是否还存在其他东西，或者说是否客观实在是一种幻觉。对于这个问题，笛卡儿的回答是，上帝既然是完美的，就不会是一个欺诳者。如果物质宇宙不是真实的，他就不会让我们相信其存在。
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