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数学与知识的探求 第11章 数学物理学的实在
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我们的处境和这样一个人相似：他有一串钥匙，曾连续打开了几扇门，而且是在第一次或第二次尝试时碰巧就选中了合适的钥匙。对于钥匙和门之对应的唯一性，他开始怀疑了。
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奥伊格纳·维格纳
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我们是以这样一个问题开始探讨的：是否存在一个外部的世界？我们的回答是有，而不管贝克莱正相反对的断言以及其他哲学家有所保留的断言。不过，我们的确表明了，我们的感官知觉不仅是有限的，而且还可能误导。而直觉即使经经验改进也被证明没多大助益。因而，尽管数学有其人为性，我们还是求助于它来校正和扩展我们关于外部世界的知识。
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从而，人类接受这样的理论：地球绕太阳运动，这不是因为日心说比旧的地心说更准确，而是因为在数学上它更简单。从感官的角度来看，日心说当然不如地心说可信。
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为解释行星有秩序地沿着椭圆轨道运动，以萨克·牛顿爵士提出了万有引力理论，而这一理论的物理本性无论是他本人还是其后继者300年来都解释不了。在这个案例中感官知觉被证明是无用的。
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处于纯粹数学上的考虑，克拉克·麦克斯韦断言存在着电磁波，而这完全不能由人类五种感觉中的任一种察觉。然而这些波的实在性却几乎不能受质疑；每一台收音机、每一台电视都宣布了电磁波的存在。麦克斯韦还得出这样的结论：光也是一种电磁波。在这一案例中，可以说一个不解之谜由数学取代了。
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尽管牛顿相信绝对空间和时间的存在，但不能找到绝对的参考系。这一情况以及为调和牛顿力学定律和电磁学定律，促使爱因斯坦创立了狭义相对论。粗略地讲，这一理论认为长度、质量、时间和同时性完全依赖于观测者。实验上的确证迫使我们不得不接受这些结论为事实。广义相对论取消了神秘的引力，这使人们更加相信它。此外，实验所发现的正是广义相对论所预言的，这使我们更加相信其合理性。
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关于原子结构的理论，即量子理论，几乎挑激（chalenges）我们来不相信（disbelieve）它。它处理的都是我们不能直接观察的现象，这些现象的本性我们只能通过其结果来推断。从原子中射出的电子不是作为粒子而是作为波来活动，而且还可以这样来解释作为粒子的电子的行为：在某一时刻和某一点它们只有可几的存在；这些都使我们难以相信。原子核包含许多粒子和反粒子，其中许多逐渐衰减，这使我们得出这样一个不可信的结论：从本质上说外部世界中没有坚实的物质，从而提出这样的问题：我们人类是由什么组成的？应该承认量子力学只是一个相对来说新的科学分支，也许我们应该将其所有的结论看作尝试性的。不管怎么说，原子弹和原子能都是现实。
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当然，上面我们概述数学物理学的章节没有涵盖其所有的成就。如流体力学这样的课题研究的是从数学上描述水、气体及其他流体的行为，不过关于实在它没有提出出人意外的结果。对于它所处理的现象我们至少还有一些物理上的觉察。然而，对于我们上面已概述过的现象却不能这样说。它们或者否定感性知识或者完全缺乏感性知识。
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我们接受为现实的东西与前人形成强烈的对比，无论是亚里士多德学派还是17、18世纪的物理学家。随着运动定律和万有引力定律能支配越来越多的现象，随着行星、彗星和恒星持续地遵循为数学所精确描述的路径，笛卡儿、伽利略和牛顿的假设——宇宙可以用质量、力和运动来解释——成了几乎每个能思想的欧洲人的信念。
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贝克莱曾经将导数的微积分概念描述为死去之量的鬼魂。现在物理学理论中有许多是物质的鬼魂。不过，通过从数学上明确表述这些鬼魂场的定律（这些在现实中没有明显的对应物），通过推导出这些定律的结果，我们就得出了这样一些结论：只要用物理术语来恰当解释，它们就可以用感官知觉来核实。
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爱因斯坦在1931年强调了现代科学的构造性：
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根据牛顿体系，物理实在的特征可以用空间、时间、质点和力（质点之间的相互作用）诸概念来表述……
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麦克斯韦之后人们将物理实在构想为连续的场，可以用偏微分方程来表示，但不能从力学上来解释。对于物理学来说这种现实观的改变是自牛顿以来最深刻、最有成效的。
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我上面概述了科学理论之基础的纯粹构造性，这种观点在18、19世纪决不是占主导地位的。然而，它的影响持续增大，是由于下面的事实：随着逻辑结构变得越来越简单，也就是说，随着为支持结构所必需的逻辑上独立的概念要素之数量越来越小，以基本概念和定律为一方，以它们的与经验有关的结论为一方，这两方之间在思想中的距离越来越大。
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现代科学对自然现象进行理性解释，而消除了怪异、恶魔、天使、妖怪、神秘的力以及万物有灵论，因而受到赞赏。我们现在还必须加上，现代科学正在逐渐地去除直觉的和物理的内容，而这些是诉诸于感觉的：它消除了物质；它利用了纯粹人工和理想的概念例如场和电子，关于这些我们所知的只是数学化的定律。科学经过一条条长的推理链后还与感官知觉保持着虽很关键却很小的联系。科学是合理化的虚构，由数学加以合理化。
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当今科学说明的是一种动态的实在，这个实在随着我们的理解的增长和变化而增长和变化。此外，我们必须承认不能直接知觉之物体和现象的实在性。感性的确证不需要了。大自然比感官告诉我们的更丰富。在常识中没有原子、电子、弯曲时空和电场的对应物。当然，缺少一个有意义的模型是一个很大的缺陷，对于那些局限于常识的经验并很自然地易于根据这些经验来推理的人来说尤其如此。
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在人类确定什么是实在的努力中，一种新的因素，即观测者的作用，出现了。在19世纪大自然还是作为这样一组现象显现的：其中人和人的介入在原理上（尽管不是在实践上）可以忽略。然而，在20世纪，尤其是在原子物理学的领域中，我们不得不放弃旧的观念。我所知的是过程、泡室、照片以及荧光屏上显示的效果，根据这些我们推断出基本粒子的活动。这些过程像理解行为本身一样关联到对那些活动的理解中。而且，如海森堡所指出的，我们所采用的步骤影响了本真的物理活动。当经典力学求助于一个粒子图像或者一个波的图像时，有一个独立于观测者的客观实在。如今物理学定律关乎的是我们的知识而不是在物理世界中什么是真的。我们观测、操作、数学化并得出结论。
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经典物理学考虑到测量中的误差因而利用统计理论和概率论。然而，测量出的量是固定的，有一个严格的数值。在量子力学中情况可不是这样，在这里事件只在统计上可知。没有如在经典物理学中那样越来越精细的设备。粒子在时空中的存在是推断出的。这样，基本粒子的客观实在性并不是消散在关于实在的不清晰或者未经解释的概念之雾中，而是奇怪地分散在数学的明晰中，这里数学不再描述基本粒子的活动而是描述我们对这种活动的知识。
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所以我们接受了这样一种观点：真实的世界不是我们未经质疑的感官所告诉我们的，也不是我们有限的知觉所能描述的，而是人类的数学理论告诉我们的。在欧几里得几何学中，尽管点线面以及诸如此类的概念是理想化的，它们是实在客体的理想化。人们可以参照现实中的点线面。在引力和电磁波的情形中我们应该参照什么呢？我们观测它们的效应。但是在数学之外什么是真实的呢？甚至无可否认是想象性的物理图像也不足以解释这些力和场的本质。似乎不可能避免这样的结论：数学化的知识是我们对于实在的某些部分的唯一的把握。
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甚至可以问问数学是真实的吗？意思是说它对于实在世界所表示的在实际上、物理上是真实的吗？也许通过考虑数学的应用我们可以回答这个问题。约翰·开普勒得意洋洋地宣称每个行星都沿着椭圆轨道绕太阳运行。但是椭圆恰好是开普勒所需要的吗？答案是否定的。开普勒花了几年时间试图找到适合火星轨道数据的曲线，他想到椭圆是因为在数学中椭圆已为人所知。当他发现椭圆轨道非常适合观测数据，而对于这个轨道的偏离可以归为实验误差时，他断定椭圆是正确的。然而，行星绕日的轨道不是椭圆。假如太空中只有太阳和唯一一颗行星，而且两者都可以看作完美的球体，那么那颗行星的轨道会真正是椭圆的。但是真正加在一个行星上的引力不只是太阳的，还包括其他行星和卫星的引力。所以，轨道不是椭圆的。开普勒所用的第谷·布拉赫的天文学观测数据尽管优于前人，却足够粗略，允许开普勒认定椭圆合适，这是很侥幸的。
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那么爱因斯坦所运用的黎曼几何和张量分析呢？黎曼几何和张量分析恰好适合相对论吗？很可能不是这样的。有充分的理由认为，对于他能利用的数学，爱因斯坦只是尽其所能。尽管广义相对论很奇妙，它是构造出的。由于太复杂，它对于解决天文学问题不是很有用。支持它的证据只在于它以更好的准确性预言了三种现象。如果说科学史能够教会我们什么的话，它使我们明白将来有一天这一理论也会被取代。
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这两个例子告诉我们数学所表示的并不必然完全是关于物理世界的。大自然并不规定也不禁止任何数学理论。数学物理学还必须运用牛顿万有引力定律这样的物理学公理。这些公理可能看来是对于经验的概括，但是这样的概括也可能是有点错误的。由实验确证的预言当用来作为数学或物理公理之根据时必须谨慎。这一点伯特兰·罗素在其《科学的世界观》（The Scientific Outlook, 1931）已强调过了。他举了下面的例子。如果从这样的假设开始：面包是由石头做的且石头是有营养的，就可以合乎逻辑地断言面包是有营养的。这个结论可以从实验上证实。然而，不消说，那些假设是错误的。
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另一方面，创立一门数学原来是为了用于描述一种物理过程，科学史表明前者比后者更为牢靠。约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier, 1768—1830）曾对于热传导写下了一种完备、精致的数学理论，这一理论似乎是适用于热质说。而认为热是一种流体的热质说从那以后就被抛弃了。正如埃德蒙·伯克所言：“常常是这样，理性的猜测和忧郁的事实不一样。”然而，后来证明傅立叶的数学理论在乐音（musical sounds）和其他现象的分析中不可或缺。
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