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复杂 [:1701064724]
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线性兔子和非线性兔子
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现在我们再详细了解一下对初始条件的敏感依赖性。混沌系统中初始的不确定性到底是如何被急剧放大的呢？关键因素是非线性。对于线性系统，你可以先了解其组成，然后将它们合到一起。当我的两个儿子和我一起做厨艺时，他们喜欢轮流加原料。杰克放两杯面粉，跟着尼克又加一杯糖。结果呢？三杯面粉和糖的混合物，整体等于部分之和。
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对于非线性系统，整体则不等于部分之和。杰克放了两杯苏打粉，尼克又加了一杯醋。整个事情就不可收拾了（你可以自己在家里试试）。有什么后果？你会得到大量醋、苏打粉和二氧化碳混合的泡泡。两者之间的区别在于：前面的糖和面粉不会产生反应生成新的东西，而后者的醋和苏打粉会剧烈反应，产生很多二氧化碳。
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还原论者喜欢线性，而非线性则是还原论者的梦魇。理解线性和非线性的区别很有用，值得研究一下。为了更好地理解非线性以及混沌现象，我们要研究一点点简单的数学，借用一个经典的生物群体数量动力学模型来阐释线性和非线性。设想你养了一群兔子，兔子会配对生小兔子，每对兔子父母每年会生4只小兔子然后死去。图2.5显示了兔子的繁殖状况。
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▲图2.5 倍增的兔群
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很显然，如果不受限制，兔子的数量会每年翻番（这意味着兔子很快会接管这个星球，乃至太阳系和整个宇宙，不过我们暂时还不用担心）。
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这是一个线性系统： [19] 整体等于部分之和。我想让它们做什么呢？我们先将4只兔子分开放到两个岛上，每个岛上2只。然后让兔子继续繁殖。图2.6显示了繁殖两年的情形。
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两边都是每年翻番。不管是哪一年，如果你把两个岛的兔子加起来，你得到的数量还是与没分开时一样多。
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如果以当年的兔子数量为横坐标，以次年的兔子数量为纵坐标，将各年的数据标上去，你将会得到一条直线（图2.7）。这就是为什么称之为线性系统。
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▲图2.6 倍增的兔群，分开在两个岛上
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但是如果考虑到种群数量增长所受的限制，情况会怎样呢？这会使得增长规则变为非线性的。假定前面的规则仍然成立，每对兔子每年生4只小兔子然后死去。不过现在有些小兔子会因为太过拥挤没有繁殖就死去。研究种群数量的生物学家常用逻辑斯蒂模型 [20] （Logistic model）描述这种情形下群体数量的增长。这个模型以一种简化方式描述群体数量的增长。你设定好出生率、死亡率（由于种群数量过多导致的死亡概率）以及最大种群承载能力（栖息地所能承载的种群数量上限），然后将这一代的种群数量代入逻辑斯蒂模型，就能算出下一代的种群数量。在这里我不给出逻辑斯蒂模型的具体形式 [21] （注释中有），你可以在图2.8中看到它的变化情况。
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▲图2.7 线性模型中当年与次年种群数量的关系曲线
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举个简单的例子，设出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32，第一代有20只兔子。用逻辑斯蒂模型算出第二代为12只。将新的种群数量再代进去，又可以得出第三代仍然是12只兔子存活。此后的兔子数量将一直维持在12只。
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▲图2.8 根据逻辑斯蒂模型得出的当年与次年种群数量的关系曲线，出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32。如果取其他参数，曲线仍然是抛物线
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如果将死亡率降到0.1（其他参数不变），会有些有趣的事情发生。根据模型可以得出第二代为14.25只兔子，第三代则为15.01816只。
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等一下！怎么会有0.25只兔子，还有稀奇古怪的0.01816只？在真实世界中显然是不可能的，不过这只是模型，允许兔子数量为小数。这样在数学上简单些，而且预测的兔子数量仍然大致符合实际。所以这里我们无须为此担心。
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将算出的种群数量再代进去计算下一代的种群数量，这个不断重复的过程即所谓的“对模型进行迭代”。
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如果将死亡率恢复成0.4，承载力翻一倍变成64，结果又会怎样呢？根据模型我们发现，从20只兔子出发，9年后种群数量会变为接近24的一个值，然后停在那里。
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你可能注意到了这些例子中的种群变化比前面单纯每年翻番的情形复杂得多。这是因为引入了种群数量过多导致的死亡，模型变成了非线性的。其图形不再是直线，而是抛物线（图2.8）。逻辑斯蒂模型中的群体数量变化不再简单等于部分之和。为了说明这一点，我们将20只兔子分为两群，每群10只，再对各群进行迭代（参数同前面一样，出生率为2，死亡率为0.4）。图2.9为迭代结果。