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通用图灵机
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接下来，图灵又证明了图灵机的一个神奇特性：人们可以设计出一种通用图灵机（称之为U），它可以模拟任何图灵机的运作。U在模拟图灵机M处理输入I时，U处理的带子上不仅包含编码输入I的序列，还包含编码图灵机M的序列。你可能会奇怪图灵机M也能被编码，不过这其实不难。首先，所有规则（同前面那五条差不多）都可以简写成下面这种形式：
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—当前状态—当前符号—新状态—新符号—动作—
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这样前面的规则1就表示成：
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—启动—0—偶数—空—右移—
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（分隔符“—”不是必需的，只是方便我们读规则。）然后用0/1序列对规则进行编码：例如，启动=000，偶数=001，奇数=010，停机=100。类似的，符号也能编码成0/1序列：例如，符号“0”=000，符号“1”=001，空符号=100。0/1序列可以随意设定，只要与符号一一对应就行。状态和符号——比如启动和“0”——之间使用的0/1序列可以相同；因为我们知道规则的结构形式，据此就能分析出编码的内容。
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类似的，也可对动作进行编码，“右移”对应000，“左移”对应111。将分隔符“—”编码成111。这样整条规则都可以编成0/1序列了。编码出来的规则1是这个样子：
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其他规则也可以依此编为0/1码。将所有规则的编码连到一起，形成一个长串，就是图灵机M的编码。为了让U模拟M处理I, U最初的带子上既包含I也包含M的编码。U的每一步在带子的输入部分读取I的当前符号，并从带子的M部分读取相应的规则，应用于输入部分；这样就能模拟跟踪M在处理给定输入时的状态和输出。
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如果M到达停机状态，U也会停机，并且带子上产生的输出会与M处理给定输入I时产生的输出一样。因此我们说“U在I上运行M”。这里没有讨论U本身的状态和规则，因为比较复杂，但是这种图灵机是肯定可以设计出来的。事实上，现在的可编程计算机正是这样一台通用图灵机：它读取存储的程序，并在存储的输入I上运行这个程序。在图灵证明了存在通用图灵机之后十来年，第一台可编程的计算机就被建造出来了。
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图灵对判定问题的解决
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再来看看判定问题：是否有明确程序可以判定任意命题是否为真？
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通过证明通用图灵机的存在，图灵证明了这个问题的答案是“否”。他意识到图灵机的编码也可以作为另一台图灵机的输入。这就好像用一个计算机程序作为另一个程序的输入。比方说，你可以用WORD写一个程序，存成一个文件，然后用另一个程序（字数统计）处理这个文件，输出你的程序的字数。字数统计程序并不运行你的程序，它只是统计文本文件中的字数。
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类似的，你也可以设计出统计输入中1的个数的图灵机M（这个不是很难），然后运行M处理另一个图灵机M′。M会统计M′中的1的个数。当然，在通用图灵机U中，将M的代码置于U的带子的“程序”部分，将M置于带子的“输入”部分，U就能在M上运行M。为了好玩，我们也可以在U的带子的“程序”和“输入”部分都放置M，让M处理它自己的编码！这就好像让字数统计程序来计数它自己的字数。完全没有问题！
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带子上的0/1序列既可以作为程序，也可以作为另一个程序的输入。对熟悉计算机的你来说，这一点可能稀松平常，但是在图灵提出他的证明的年代，这点洞察却是革命性的。
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现在我们来看看图灵的证明。
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图灵是用反证法证明判定问题的答案为“否”。首先假设答案是“是”，然后证明这个假设会导致矛盾，从而证明答案是相反的。
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图灵首先假设，存在明确程序可以判定任意给定命题是否为真。然后他给出了这样一个命题：
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图灵命题：图灵机M对于给定输入I会在有限步后停机。
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根据前面的假设，将M和I作为输入，有一个明确程序可以判定这个命题是否为真。图灵证明，这个假设会导致矛盾。
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我们注意到有一些图灵机永远也不会停机。例如，考虑与前面例子类似的一个图灵机，只有两条规则：
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1.如果处于启动状态，读取到0或1，变为偶数状态，并往右移动一格。
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2.如果处于偶数状态，读取到0或1，变为启动状态，并往左移动一格。
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这个图灵机完全没有错误，但是它永远不会停机。用现在的话说是“死循环”——写程序时经常会碰到的bug。死循环有时候隐藏很深，让你很难发现。
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