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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078166]
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四 杰出的数学家刘徽和祖冲之
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这个时期的数学，在《九章算术》的基础上，又取得卓越的成就，充实和发展了数学体系的内容。出现了赵爽的《周髀注》，刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》，以及《孙子算经》，《夏侯阳算经》，《张邱建算经》，祖冲之的《缀术》，还有甄鸾的《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》等大量数学著作，后来都收入有名的《算经十书》中。这些数学著作大大丰富了以《九章算术》为代表的中国古代数学体系，其中记载了不少重大成果。例如《孙子算经》中的“孙子问题”（一次同余式问题），《张邱建算经》中的百鸡问题都是世界数学史上著名的问题。甄鸾对《周髀算经》、《九章算术》、《夏侯阳算经》等数学经典著作的注释，对唐初李淳风注释十部算经有一定的帮助。在这一时期许多数学家中，以刘徽和祖冲之的成就最为杰出。
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刘徽及其数学成就
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刘徽活动于曹魏和西晋时期，他所著述的《九章算术注》和《海岛算经》，是数学史上宝贵的遗产。《隋书·律历志》载：“魏陈留王景元四年，刘徽注九章。”景元四年即263年，这应是刘徽作《九章算术注》的年代。在《九章算术注》中，刘徽利用为名著《九章算术》作注的形式，不仅对《九章算术》中的大部分算法一一给出了理论上的论证，同时还创立了“割圆术”等若干新的算法。
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在以往有关圆的计算中，一般取用“周三径一”，即圆周率π=3，这在计算中产生很大误差。刘徽在总结过去数学运算中，发现“周三径一”的数据实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值，用这数据计算的结果是圆内接正十二边形的面积，不是圆的面积。他认为当圆内接正多边形边数无限增加时，其周长即愈益逼近圆周长，“割之弥细，所失弥小。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”【27】。也就是说，圆内接正多边形边数无限多时，其周长的极限即为圆周长，面积的极限即为圆面积。在这一思想指导下，刘徽创立了割圆术，为计算圆周率和圆面积，建立了严密的方法，开创我国圆周率研究的新纪元。从这里我们可以看到，刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
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图5－2 刘徽《九章算术注》中有关割圆术的记载
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早在先秦诸子中，就已有极限思想的萌芽。但先秦诸子这些思想大多带有思辨的性质，把极限思想用之于解决数学问题的，在我国古代当推刘徽的割圆术为最早了。
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刘徽从圆内接正六边形算起，边数逐步加倍，一直算到圆内接正192边形的面积，算得了π近似于3.14的数值，另一个近似值π=（相当于3.1416）可能也是刘徽算得的。这个结果是当时世界上的最佳数据。最早提出当边数无限增多时，圆内接正多边形的面积趋于圆面积的，是公元前5世纪希腊数学家安提丰（Antiphon），但他没有利用来计算圆周率π的近似值。后来阿基米德（Archimedes，公元前3世纪）提出圆周长介于圆内接多边形周长与圆外切多边形周长之间，算出了＜π＜的数值。但阿基米得是用归谬法证得这一结果的。他避开了无穷小和极限。而刘徽却应用了极限的概念，并且在方法上仅需用圆内接正多边形的面积，不必计算圆外切正多边形的面积，大大简化计算的过程，并得到相当精确的数值，收得事半功倍之效。
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刘徽对数学的贡献是多方面的，他对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题，都有独到的创见。除注《九章算术》外，还撰写《重差》一卷，内容是测量目的物的高和远的计算方法。《重差》又称《海岛算经》，唐初被列为“十部算经”之一，是我国古代关于测量数学的重要著作。近年在长沙马王堆出土了西汉初期的帛画地图，其精确程度使各国学者叹服，反映了我国测量数学较早就已具相当水平，并在绘制地图中得到实际应用。
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祖冲之及其科技成就
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祖冲之（429—500），字文远，是我国古代数学家、天文学家和机械制造家。他出身的家庭，几代的成员对天文、历法都有深入的研究。在这样的家庭气氛熏陶下，他自小时起便“专功数术”。他治学态度严谨，“博访前故，远稽昔典”，搜集自古以来的大量文献资料和观测记录，系统深入地进行分析研究，从前人的科学思想和成就中吸收了丰富的营养。但是祖冲之的可贵之处更在于他“不虚推古人”，没有被束缚在已有的成就中。他在自己的学术道路上，富有批判的精神和探索的勇气。他在“搜练古今，博采沉奥”，掌握大量资料的同时，坚持实际考核验证，亲身进行精密的测量和细致地推算，既发扬了前人的成就，又纠正了前人的错误，把我国的数学和天文学推进到一个新的高度。
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当人们一提到祖冲之时，往往就想到圆周率。确实，祖冲之的名字与圆周率的计算是不可分开的。他应用刘徽的割圆术，在刘徽的计算基础上继续推算，求出了精确到第七位有效数字的圆周率：3.1415926＜π＜3.1415927。这一结果，相当于需要对九位数字的大数目进行各种运算（包括开方在内）130次以上，这在今天用笔算运算也是一个十分繁复的工作，而在当时是用算筹运算的，更不知要艰巨多少倍。从这里，可以看到祖冲之付出多么巨大的劳动，需要多大的毅力和决心。
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祖冲之所求得的圆周率数值，远远地走在当时世界的前列。直至一千年后，15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西（A1－Kashi，）于公元1427年著《算术之钥》和16世纪法国数学家维叶特（Viète，1540—1603）才求出更精确的数值。为了计算的方便，祖冲之还求出用分数表示的两个圆周数值。一个是，称为密率；一个是，称为约率。密率是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳渐近分数。在欧洲，直到16世纪鄂图（Valentinus Otto）和安托尼兹（Anthoniszoon，Adriaen）才得到这个数值。
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图5－3 《隋书·律历志》中有关圆周率的记载
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关于球体体积的计算，《九章算术》中认为外切圆柱体与球体体积之比，等于正方形与其内切圆面积之比。刘徽纠正了《九章算术》中球体体积计算中的这个错误，指出“牟合方盖”（即垂直相交两圆柱体的共同部分）与球体体积之比，才是等于正方形与其内切圆面积之比，但他没有得到“牟合方盖”的体积公式。祖冲之的儿子祖暅应用“缘幂势既同，则积不容异”【28】，即“等高处横截面积常相等的两个立体，它们的体积也必定相等”的原理，巧妙地完成了刘徽的未竟之业，最后得到球体体积＝D3，（D为球体直径）的正确公式。这原理就是著名的“祖暅公理”。在西方，它经常被称作卡瓦列里（Cavalieri，1591—1647，意大利人）公理，比祖暅迟约一千年。
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根据《南齐书》和《南史》记载，祖冲之曾经“注《九章》、造《缀术》数十篇”。《缀术》一书唐初被列入“十部算经”之中。这部著作有的史料说是他儿子祖暅所著，实际可能是他们父子共同心血的结晶。可惜的是这部珍贵的古代数学典籍早已亡佚。《缀术》内容深奥，时人称其精妙，书中除包括圆周率和球体体积的计算外，可能还涉及三次方程的求解问题。在唐代数学教育中，《缀术》的学习时间定为四年，是“十部算经”中学习时间最长的一种。
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在天文学领域中，祖冲之也取得了辉煌的成就。他在“探异古今，观要华戎”，对历代历法进行系统研究中，一方面“专功躭思”，开动思想机器；一方面坚持实际观测，“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。他发现“古历疏舛，类不精密”，指出天算历法家刘歆、张衡、刘徽、何承天等人的不足，大胆地提出历法改革，于刘宋大明六年（462年）33岁时，完成了大明历。祖冲之大明历的重大成就与改革措施，已如第三节所述，不再重复。
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祖冲之的历法改革，曾引起了历史上有名的祖冲之与戴法兴关于改历的争论。
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祖冲之在完成大明历后，上表给宋孝武帝刘骏，要求推行新历，但却受到刘骏的宠臣戴法兴的竭力反对。戴法兴拘泥于陈腐的传统观念，抱残守阙，非难祖冲之。他无视祖冲之提出的“冬至所在，岁岁微差”的事实，以冬至点是“万世不易”的陈腐观点，责骂祖冲之“诬天背经”。他还以闰法的设置，是“古人制章”，“此不可革”为口实，攻击祖冲之改革闰周是“削闰坏章”。戴法兴既为刘骏的宠臣，“天下畏其权，既立异议，论者皆附之”，当时朝臣支持祖冲之的，只有一个人。