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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078180]
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六 算经的注释和数学的发展
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由于农业、工商业的发展，城市建筑、运河水利工程的大规模兴建以及天文学进步的需要，这个时期的数学在前代所取得的巨大成就的基础上，持续地向前发展，并为宋、元时期的数学发展高潮奠定了基础。
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数学教育
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这时期在国家创办的学校中设置了数学教育，在科举中设立了明算科。隋代在国子寺设立算学，置有博士2人、助教2人，学生80人，进行数学教育。唐代于显庆元年（656年）也在国子监设置算学馆，由算学博士“掌教文武官八品以下及庶人之子为生者”【61】。算学馆有学生30人，主要学习十部算经，“习《九章》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经算》十有五人，习《缀术》、《缉古》十有五人”，并兼习《数术记遗》和《三等数[XP（]三等数[XP）]》。学习期限规定为“《孙子》、《五曹》共限一年业成，《九章》、《海岛》共三年，《张邱建》、《夏侯阳》各一年，《周髀》、《五经算》共一年，《缀术》四年，《缉古》三年”【62】。显庆三年（658年）废算学馆，把博士以下人员并入太史局。龙朔二年（662年）重设算学，但学生数减为10人。这时期，由国家在国子监中创立算学，进行数学教育，这在我国历史上是首创，在世界史上也是少见的。但是由于传统思想的桎梏，当时盛行的是经史治国，数学教育没有受到应有的重视。在唐代的国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生300人，太学、四门各有学生500人，而算学仅有学生30人，后来又减为10人。而且学数学的人社会地位非常低微，国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，“士族所趋唯明经、进士二科而已”【63】。大约在晚唐时期，明算科考试便早已停止了。
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王孝通和《缉古算经》
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唐代数学中所列的十部算经中，除王孝通《缉古算经》外，都是前人的著作。王孝通活动于初唐时期，曾任算学博士、太史丞。他少小时就学算，一生进行数学工作，《缉古算经》是他的代表作，其中最主要的成就是介绍开带从立方法（即求三次方程的正根），这是我国现存最早的开带从立方的算书。写《缉古算经》的目的，王孝通在“上《缉古算经》表”中说得很清楚，他说：“伏寻《九章》商功篇有平地役工受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论，致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》。”王孝通经过长期的研究，利用开带从立方的运算方法，解决工程建设中上下宽狭不一，前后高低不同的埧体或沟渠等工程的施工计算问题。就当时已有的数学水平而言，如何列出合乎解题需要的三次方程，是一个很困难的问题。直到宋元时期的“天元术”出现之后，这问题才得到解决。
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“十部算经”的注释
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为了满足数学教育的需要，唐高宗曾令太史令李淳风与算学博士梁述，太学助教王真儒等注释《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，在“国学行用”【64】。李淳风等在对《周髀算经》的注释中，根据实际观测，修正了经文和赵爽、甄鸾注中的缺陷。他指出《周髀》认为南北相去一千里，日影的长度相差一寸的说法与实际不合，赵爽用等差级数计算二十四气八尺高竿的日影长，也不符合实际情况，并逐条校正了甄鸾对赵爽的“勾股圆方图”的种种误解。李淳风等在注《九章算术》少广章开立圆术时，引用了祖暅对于球体积的研究，为后世保存了宝贵资料。他们所注的《海岛算经》，详细指出了解题中的演算步骤，为学习提供了方便。但李淳风等人的注释工作也存在着不少缺点和错误，如李淳风等没有认识到刘徽割圆术的意义，贬低刘徽的工作，这是不对的。但是，正是由于李淳风等人奉命注书，又经政府规定为教科书，才使“十部算经”等古算书得以流传至今，其功绩是不能磨灭的。
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二次内插法的创立
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随着天文观测的进步，1世纪初就已发现月球视运动速度随时间而变化，但一次内插法所得到的结果误差太大。南北朝时期在天文观测中又发现了太阳和五星的视运动也不是匀速运动，尤其是太阳视运动的不均匀性对制定历法时计算合朔、交食等的时刻有着较大的影响，因而要求有更精确的方法来进行计算。600年，隋代天文学家刘焯在制定皇极历时，创立推算日、月、五星运行度数的等间距二次内插方法。这种方法比以前所用的一次内插法精密，利用这公式计算所得到的历法精确度也有所提高。但是，由于历法中的节气不是等间距的，日、月、五星的视运动也不是匀加速运动，所得到的数值仍然存在着较大的误差。为了提高历法的精确度，唐代著名天文学家一行又在这基础上大胆创新，在大衍历中创立了不等间距的二次内插方法。晚唐时的徐昂在822年制定宣明历时，所用内插公式比一行的公式形式上更为简便。内插方法的创立和应用，是中国数学史和天文学史上的一项重大成就。
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实用算术的发展
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唐代的中、晚期，农业上推行两税法的赋税制度，工商业也有较大的发展，人们对简化筹算计算过程的要求较为迫切，出现了不少有关实用算术的书籍，如龙受益的《算法》，江本的《一位算法》，陈从运的《得一算经》等。但从656年李淳风等注释十部算经，至南宋秦九韶于1247年著述《数书九章》，其中将近六百年中所出现的数学著作皆已佚亡，现存仅有韩延的一部算书因后被冠以《夏侯阳算经》之名而幸存。这是中唐时代的一部算书，大约成书于770年左右。书中引证了不少算书和当时的法令，保存了一些宝贵的史料。
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图6－10 《韩延算书》书影
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韩延算书共3卷，有83个例题，除少数例题与《五曹算经》、《孙子算经》相同外，都是结合当时的实际需要，为地方官吏和普通人民提供适用的数学知识和计算技术。书中提供了当时把过去用算筹演算时分上、中、下三层进行，简化为一个横列里演算的情况，有不少化多位乘除为一位乘除的例题。例如，用二次7乘，然后除以10、再除以2来代替乘数为2.45；用5乘，再用7乘来代替乘数为35等。另外，书中还记有用加法代乘、用减法代除，在一个横列里进行筹算的演算方法。这些演算方法，简化了过去繁杂的筹算演算，便于在实际运算中推广应用，适应了社会生产和生活上的需要。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078181]
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七 天文学和杰出的天文学家一行
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定朔法的应用
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自从月球视运动不均匀性发现以后，东汉刘洪虽在推算日、月食的时刻时曾考虑到了它的影响，但在历法上却仍沿用传统的平朔法（只按日、月的平均视运动来计算朔望的方法）。何承天为了解决因采用平朔法而造成“合朔月食，不在朔望”【65】的问题，在制定元嘉历（443年）时首先创立和运用了定朔（对平朔进行月亮和太阳视运动不均匀性的修正，由此所得的朔称为定朔。这时，何承天只考虑到月亮视运动不均匀性的问题）的方法。但是当时遭到非难，未被刘宋政权采用。其后，在历法中关于定朔和平朔的论争，十分激烈，多次反复，延续了两百多年。
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在太阳视运动的不均匀性发现以后，定朔法的应用势在必行。但在隋初，为隋文帝所宠信的张宾制定的开皇历仍循古蹈旧，并且仗势压制刘孝孙、刘焯等人主张使用定朔法等的正确意见，甚至攻击刘孝孙、刘焯“非毁天历”，“惑乱时人”，致使二刘被斥罢官。后来刘孝孙多次上书，又均受张宾的支持者刘晖压制，直到刘孝孙扶棺抱书到皇宫前哭诉，隋文帝才令与张宾的历法“比较短长”，至开皇十四年（594年），证实开皇历粗疏。由于刘孝孙坚持要求先斩刘晖（张宾已死），然后定历，隋文帝不肯，因而历法的改订仍未实行。【66】
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刘焯是隋初著名的学者，对数学和天文学有较深的造诣，研习“《九章算术》、《周髀》、《七曜历书》十余部，推步日月之经，度量山海之术，莫不窍其根本，穷其秘奥”【67】。他著有论述“历家同异”的《稽极》10卷，写了《历书》10卷，均行于世。他所制定的皇极历，是当时最好的历法。刘焯在皇极历中采用了定朔的方法，代替平朔，并创立了二次等间距内插法，用以推定五星位置和日、月食起讫（初亏和复圆）时刻及食分等，还采用定气的方法，来计算日行度数和交令时刻。但在制历中却仍未考虑定气，直到清代才以定气入历。刘焯在天文、历法、数学上都有重大的贡献，但因受到当时太史令张胄玄等的反对，皇极历未被采用。
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在唐代的二百九十多年中，历法共改订了8次。唐朝于618年建立时，由傅仁均制定戊寅历于619年行用。这是我国古代第一部正式颁行并采用定朔法的历法。在戊寅历行用期间，虽不断修订其疏漏的地方，但采用定朔后出现的连续大月或连续小月的情况没有解决。至贞观十九年（645年）九月，将出现连续四个大月的情况，因而把傅仁均的历法由定朔又改回平朔。至唐高宗时，戊寅历已疏阔不准，麟德二年（665年）颁用了李淳风所制定的麟德历。李淳风的麟德历以刘焯的皇极历为基础加以改进，对过去定历时分“有章、蔀，有元、纪，有日分、度分，参差不齐”【68】的情况加以统一，简化了计算过程，同时采用定朔方法。而为了避免戊寅历中连续出现4个大月或3个小月的情况，规定了临时变通调整的办法，即把第四个大月改成小月，或第三个小月改成大月。麟德历还废除了闰周，直接以无中气的月分置闰月。麟德历出现后，受到好评，认为是当时较精密的历法。从此，定朔代替了平朔，在后世历法中一直被沿用。
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浑仪与浑象的改进
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唐初李淳风鉴于当时所用北魏造的铁浑仪不够精密，因而立意进行变革，于贞观七年（733年）造了一架新型的浑天黄道铜仪，同时写了《法象志》一书7卷，论述“前代浑天仪得失之差”【69】。李淳风所造的浑仪在前人基础上进行了重大的改进，它吸收了北魏铁仪设有水准仪的优点，“下据准基，状如十字”【70】，特别是在古代浑仪的六合仪和四游仪之间，加了三辰仪，使浑仪由二重变为三重。三辰仪由黄道环、白道环和赤道环三个圆环相交构成，其中黄道环用以量度太阳的位置，白道环用以量度月球的位置，赤道环用以量度恒星的位置。三辰仪可以绕极轴在六合仪里旋转，作为观测用的四游仪可以在三辰仪中旋转，这样就可以直接用来观测日、月、星辰在各自轨道上的视运动。由于黄白交点在黄道上有较快的移动，李淳风在黄道环上打了249对小洞眼，每过一个交点月，就把白道移过一对洞眼，较好地解决了实际的需要。李淳风的黄道浑仪被置于凝晖阁供观测之用，但不久即亡佚。
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一行在开元九年（721年）接受修定新历的使命后，提出了“须知黄道进退”，直接观测太阳视运动的要求，“请太史令测候星度”。但当时“官无黄道游仪，无由测候”。为了解决这个问题，梁令瓒设计了黄道游仪的模型“游仪木样”。一行对此很为赞赏，极力推荐，希望“以铜铁为之，庶得考验星度，无有差舛”。梁令瓒的铜游仪于开元十三年（725年）造成，唐玄宗“亲为制铭，置于灵台以考星度”。梁令瓒的黄道游仪承继李淳风的黄道浑仪而进行改进，他在赤道环和黄道环上都每隔一度打上一个洞，使黄道环可以沿赤道环移动，白道环可以沿黄道环移动。一行称黄道游仪为“动合天运，简而易从”是不无道理的。