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证实理论
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一直以来，知识的问题始终吸引着哲学、科学乃至于文学等诸多领域中众多最聪明的头脑。哲学家把关于这个问题的研究称为“认识论”，在更严格的科学化语境里，则采用了一个比较新的名称：“证实理论”。认识论和证实理论都在研究我们如何认知我们已知的东西，探查从证据推演出有效结论的过程。
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对认识过程本身的研究不同于研究蝴蝶、星云等具体研究，证实理论在很大程度上以逻辑谜题和悖论为研究对象。对于外行来说，这种说法很可能显得很奇怪，似乎意味着证实理论是对一些奇谈怪想的研究。悖论就其本质而言，是对我们的观念结构中的漏洞的披露。罗素（Bertrand Russell）说过：“检验一种逻辑理论可以看其处理谜题的能力。考察逻辑理论的时候，在脑子里积累尽可能多的谜题是一个聪明的办法，因为在逻辑领域中谜题的地位非常重要，其重要性相当于实验之于物理学。”
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在最近几十年里，我们在悖论领域取得了丰硕的成果。本书搜集了一些新近发现的悖论并加以讨论，这些悖论意义重大而且发人深省，值得每一个受过良好教育的读者深入探究。
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悖论
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首先，我们最好解释一下悖论为何物。“悖论”这个词有很多含义，但最基本的含义是“矛盾”。悖论从一系列合理的前提出发，从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。悖论是对“证明”的模仿和嘲弄。
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在设计得足够巧妙的悖论中，矛盾生成于某种本身不明显的东西。从一个严格有效的推理中可否导出矛盾？或者换句话说，我们是否可以保证，从一个严格有效的推理中不可能导出矛盾？
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依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。形态最弱的悖论即谬误。这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。我们见识过很多诡计可以用代数方法“证明”2等于1（或是类似的荒唐结论），在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。如：
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1. 令x=1
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2. 很明显x=x
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3. 两边取平方x2=x2
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4. 两边同时减去x2x2–x2=x2–x2
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5. 因式分解x（x–x）=（x+x）（x–x）
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6. 消掉相同的因式（x–x）x=（x+x）
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7. 即x=2x
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8. 由x=1，得1=2
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关键在于两边除以（x–x）那一步，这个除数是0。第5行x（x–x）=（x+x）（x–x）是正确的，其含义是1乘以0等于2乘以0，但是由此不能推出1等于2，因为任何一个数乘以0等于任何一个另外的数乘以0。
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在谬误型的悖论中，悖论是一个假象。一旦你发现了其中的错误，一切就都恢复正常了。也许所有悖论在本质上都是这样。即使错误不像上面的例子中的那样明显，但错误仍是存在的，把错误揪出来，悖论就消失了。
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如果所有悖论都是这样，证实理论和认识论就简单而无趣多了。我们并不关心简单的谬误。事实上，许多悖论是成立的，并且会引起混乱。
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威力较大的悖论通常表现为思想实验的形式（思想实验可用德语词“Gedankenexperiment”来表示）。思想实验展示了某种可以被设想但难以实际达到的状态，以形象的方式揭示某些我们习以为常的观点可能导致的荒谬结果。
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伽利略（Galileo Galilei）设计过一个思想实验来证明较重的物体下落的速度并不大于较轻的物体，这个思想实验是最简单并且最成功的思想实验之一。假设一个10磅（约4.536千克）的铅球比一个1磅的木球下落速度快（在伽利略的时代这是主流观点）。我们用一根绳子把两个球系在一起，从高处抛下来。由于木球较轻，它会在后面拖着铅球，并把绳子拉紧。一旦达到这种状态，木球开始在铅球的拉力下下落，于是我们得到一个重量为11磅的整体。这个整体比单独的一个球更重，所以其下落速度应当超过任何一个球单独下落的速度。然而，一旦绳子被拉紧，整体下落的速度将加快，这是否可信？虽然这不是完全不可能的，但已经足以令我们对最初的假设产生怀疑。这个思想实验不同于大多数的思想实验，它很容易进行实际操作。伽利略把重量各异的物体抛下来，结果发现它们下落的速度相同（与传说不同的是，实验地点并不在比萨斜塔上）。当然，今天我们在伽利略的思想实验中已经看不出丝毫具有悖论性的东西了，因为重力加速度与重量无关的知识已经深入人心。
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另一个著名的例子是“孪生子悖论”，这个例子的悖论性更为尖锐。相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。设想有一对孪生兄弟，其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。当去天狼星的那个人回来后，根据相对论，此人将发现他比自己的孪生兄弟年轻许多——不论是根据日历表的显示、他们皱纹的数量和头发灰白的程度、对时间流逝的主观感受，或是任何一种我们所知的定义时间的物理手段，结论都是他更加年轻。
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在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突是如此之剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家亨利·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论来证明相对论是错误的。在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终年龄相同。
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今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实——当然，实验品不是孪生兄弟，而是极其精确的时钟。1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计了一个实验，把铯原子钟装进喷气式客机里进行环球飞行。这个实验证明，当飞机上的乘客回家时，他们要比其他同龄人年轻一个微乎其微但可以测量的瞬间。如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比待在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家会怀疑这个结论。
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