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无穷小的证实
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如果需要考察的对象的数量明显是有限的，则亨佩尔的推理不必然导致悖论。假定宇宙中存在的全部东西就是七只密封的箱子。你不知道箱子里是什么，不过实际情况是：其中五只箱子各装着一只黑乌鸦，另外两只箱子中，一只装着一只白乌鸦，一只装着一枚绿山楂。在此情况下，如果打开一只箱子，发现其中是一枚绿山楂，你会很合理地认为这一发现确实证实了“所有乌鸦都是黑色的”。事实上，为了证明（或反驳）原假说，最迅速的方法就是调查所有非黑色的东西，因为乌鸦有六只，而非黑色的东西只有两个。当然，以上模型是人为设定的，需要假定预先知道要调查的东西的数量。实际情况是，我们很少知道要调查的东西的数量，尤其是在调查之初。
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更常见的情况是，原假说涉及的对象的数量已知为有限，而其换质位命题则不然。为了确定“所有乌鸦都是黑色的”这个命题的真假，则需要耗费一定的时间、人力和财力，具体消耗取决于乌鸦的数量（或非黑色的东西的数量）。根据康奈尔大学鸟类学实验室的r·托德·恩斯特伦（R. todd Engstrom）的说法，世界上普通乌鸦的数量在50万左右。不过非黑色的东西的数量很难确定，那是一个天文数字。
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假设有一天，我们发现尼斯湖怪兽确实存在，而且只有一只，声呐设备也证实这一物种仅此一只。我们需要检验这一假说：“所有尼斯湖怪兽都是绿色的。”我们可以乘潜艇接近这个怪兽，打开探照灯，通过舷窗向外看，观察结果是：此怪兽是绿色的。由于不存在其他的尼斯湖怪兽，“所有尼斯湖怪兽都是绿色的”这一假说由此已被证明。
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在此例中，一个单独的检验对于假说的意义极为重大。这个假说被一只非绿色的怪兽驳倒的机会只有一次。如果用此假说的换质位命题进行检验，则显得比乌鸦的例子更荒唐。换质位命题是“所有非绿色的东西都是非尼斯湖怪兽”。假设我们找遍了世界上所有非绿色的东西，并且为其中的每一个配上编号。第42 990 276号是一只蓝色的草虫，它是非尼斯湖怪兽吗？是的！因而这是对假说的支持……
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这是一条徒劳而迂回的路线。已经假定只有一只尼斯湖怪兽，于是潜在反例只有一个。用n表示所有非绿色的东西的数目，第42 990 276号是任选的一个非绿色的东西，它驳倒假说的概率不超过1/n。在可观察的宇宙中有大约1080个原子（这个数是在1后面加80个0），于是非绿色的东西的数目至少是1080，如果把抽象的东西（例如数）也算作非绿色的对象，那么非绿色的东西就有无穷多。
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以上分析很有说服力，亨佩尔在20世纪40年代最早的沉思中已经有了这种思路。一条红鲱鱼可能确实证实了“所有乌鸦都是黑色的”，但是仅仅是在一个无穷小的程度上提供了证实，因为非黑色的东西太多了。相比之下，检查乌鸦的颜色显然是更有效率的证实假说的方法。哲学家尼古拉斯·雷谢尔（Nicholas Rescher）沿着这条思路，计算出以乌鸦或非黑色的东西为检验对象，在统计学上建立有效的样本分别需要花费的检验费用。他的结论是：以乌鸦为样本需1万美元，以非黑色的对象为样本需20亿美元。
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现在还有一个矛盾需要解释：为什么一条红鲱鱼既可以证实“所有乌鸦都是黑色的”，又可以证实“所有乌鸦都是白色的”？这个问题可以转化为与数学中的无穷小类似的问题。一条红鲱鱼为“所有乌鸦都是黑色的”提供的证实相当于“1/无穷大”，分母表示非黑色的对象的数目是无穷大，分子表示一条红鲱鱼是这些对象中的一个。由于这条鲱鱼同时也属于非白色的对象，所以它同样为“所有乌鸦都是白色的”提供程度为“1/无穷大”的证实。根据定义，1除以无穷大的量等于无穷小，大于0但小于一切普通分数。
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“无穷小的证实”是否使这个矛盾变得比较容易接受了？我们应当承认，一条红鲱鱼能够同时证实“所有乌鸦都是黑色的”和“所有乌鸦都是白色的”，但仅在无穷小的程度上。
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微小的真理依然是真理，微小的谎言依然是谎言，矛盾终归是矛盾，即使只在无穷小的程度上。唯一的解决之道在于，认定在两个场合证实的程度都严格地等于0——就像普通常识所要求的那样。可是，为什么一个例证在证实其换质位命题的同时却没有证实原假说呢？[5]
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“99英尺高的人”悖论
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有时候，一个悖论的解决会对另一个悖论的分析有所启发。保罗·贝伦特（Paul Berent）的“99英尺[6]高的人”悖论是挑战尼柯德标准的另一个例子。假定我们接受一个合理的观念：“所有人的身高都不超过100英尺。”我们见到的每一个人都是支持此假说的例子。某一天，我们在马戏团见到了一个99英尺高的人，当我们离开马戏团时，我们对于“所有人的身高都不超过100英尺”的信心肯定下降了。这不是很奇怪吗？这个身高99英尺的人对原假说提供的其实是一个正例。
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这个悖论的产生有两个根源。首先，我们的表达与思想并非总是严格相符。有时，言辞本身没有精确地（通常模糊地）表达我们头脑中的假说。
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情况有可能是这样：我们的真实意思是，任何人的身高都不会达到异乎寻常的程度，不会比人类的平均身高超出一个数量级（或更多），100英尺这个具体数字反倒不是最重要的。这样一来，原本不被我们当作反例的99英尺的身高就成为一个反例。
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如果使用公制度量衡系统，我们的想法可能表示为：“所有人的身高都不超过30米。”30米换算为英尺是98.43英尺，于是一个99英尺的人就成为一个针对30米假说的反例。有人觉得，身高99英尺的人在一定程度上威胁了“所有人的身高都不超过100英尺”这个语句所表达的思想——这就是咬文嚼字了。
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下面讨论另一个根源。假定你和一个朋友就“所有人的身高都不超过100英尺”这一假说打赌，一旦发现一个身高100英尺（或以上）的人，你就输了，要在一家豪华餐馆请朋友吃饭。此时，我们关注这个假说的动机不是理智上的探索，而仅仅是设赌。我们只关心严格的字面意思，身高99英尺的人接近但没有达到要求。无论如何，这个人对你不构成威胁，你在打赌中还没输。
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不过你还是会觉得，这个身高99英尺的人的出现干扰了你的假说为真的概率。这是因为，你知道许多关于人类的成长和变化的事实。根据这些知识，一旦发现一个身高99英尺的人，那么存在一个身高100英尺的人的可能性上升。几乎所有的人类的特征最终都需要重新考察，这个身高99英尺的人表明，就遗传和身体方面而言，人类身高达到100英尺是有可能的。
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下面假定我们发明了一种方法，可以忽略所有无关紧要的信息而检验我们的假说。在纽约第五大道的最繁华处，我们在人行道上设置一个传感器，随时监测每一个经过的人。在传感器上方100英尺处安装一只电眼，当某个人踩到传感器时，电眼会判断一束距人行道100英尺的光线是否被某个高个子的行人遮蔽。用一个记录装置追踪所有行人，尤其是身高100英尺（或以上）的行人的通过情况。
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我们通过检查仪表的读数获知结果。读数“0/310 628”表示共有310 628个行人经过，其中没有身高100英尺者。这310 628名行人中的每一个都是支持原假说的正例，都在完全相同的程度上提供证实。既然我们关于每个行人的全部信息仅仅是其身高是否低于100英尺，所以，判定某一个行人提供的证实比其他人多是荒唐的。
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假如实际情况是，这个99英尺高的人走过第五大道并被仪器记录，他将和其他人一样对原假说提供证实，我们看不出差别。由于这个人的经过，仪表的读数由“0/310 627”变成了“0/310 628”，我们对原假说的信心有一个微小的增长。
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显然，由于一些额外信息的存在（此人身高99英尺，以及我们关于人类基因变异的知识），一个简单的正例变成了一个显著的反例。
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哲学家卡尔纳普（Rudolf Carnap）主张“总体证据要求”。在归纳推理中，必须采用全部可用信息，如果我们只看仪表的读数，而对这个身高99英尺的人一无所知，那么这个人是一个有效的正例；但如果我们知道得更多，他就不再是正例。
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总体证据要求在科学界引起广泛深入的思考，因为生物化学、天文学、物理学等许多研究领域都涉及此问题。在研究基因或亚原子粒子时，我们的观察方法更接近于那个在人行道上监测行人的仪表，而非简单的观察。我们不能直接观察到RNA（核糖核酸）或夸克，更准确地说，我们提出一个具体的问题，而后通过仪器找答案。
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假定我们对知识搜集不做不必要的限定，那么这种观察方法全无问题。如果我们忽略其他因素，并且我们必须如此，那么我们可以仅从可用信息的角度出发进行归纳。然而，我们搜集到的信息越完全，我们所做出的归纳就越有效。
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