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序言悖论
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我们都见过谦虚得过分的序言——作者（在感谢自己的配偶和打字员之后）声明对“在所难免”的错误负责。你很可能觉得奇怪，既然他对于错误的存在如此有把握，为什么他不回去把错误改过来，而只是做一个空洞的说明。受这种“不作为”现象的启发，梅金森（D. C. Makinson）提出了“序言悖论”（1965）。这个悖论与期望悖论和意外绞刑悖论都有联系，它“证明了”除非是在文学作品中，否则这种情况不能发生。
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一位作者写了一部巨著，他认为此书属于非文学作品。书中有许多命题，他仔细地检查过这些命题。一位朋友读了这本书，耸耸肩说：“任何一部篇幅如此长的书中至少有一处错误。”“在哪儿呢？”作者要求朋友指出来。但朋友断言，虽然他还没发现任何错误，但是所有的长篇非文学类著作都会包含一两个错误。作者勉强接受了朋友的说法。朋友说：“这么说，你的读者没有理由相信你书中的全部命题。”
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“你看，”朋友说，“随便挑出一个命题。”他随机地翻到一页，找到一个陈述句。“我们暂且不看这个命题。我用手指挡住这个命题，让你看不见它。你是否相信，在这本书中除了这个命题以外的所有命题都是真的？”
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“当然。除非我信以为真，否则我不会把命题写进书中。我有非常合理的理由相信它们。”
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“好极了。你已经同意：这本书中至少包含一个错误，尽管你我都未能发现错误。既然你相信书中至少有一处错误，而且你相信除了这个命题以外的所有命题都是真的，于是，你必须相信我正用手指挡着的这个命题是假的，否则你的观念就是自相矛盾的。我只是随便挑出了一个命题做例子。其实我可以把任何一个命题拿出来，进行完全相同的推理。对于书中的任何一个命题，你都不能合理地相信它是真的。”朋友下了结论。
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为了避免误导读者，这个作者为这本书加了一个序言作为警告：“本书中至少有一个命题是错误的。”
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如果这本书中包含一个（或多个）错误，则这个作为序言的命题是正确的。如果这本书中除了这个作为序言的命题以外没有任何错误，则这个作为序言的命题就是错误的。于是，这本书中确实有一个错误，而作为序言的命题是正确的。但是如果作为序言的命题是正确的，那么本书中就没有错误，作为序言的命题就是错误的……在再版时插入一系列的勘误表也无助于解决这个问题！[2]
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合理的观念必须是相容的吗？
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确实有许多作者在实际的序言中承认有错误。小库尔特·冯内古特（Kurt Vonnegut Jr.）的小说《猫的摇篮》就有这样一篇序言：“本书中的东西统统是假的。”这与梅金森的序言悖论不一样，它是更直接的矛盾。不过好在冯内古特的书是文学作品，只要这个序言不应用于自身，它还是正确的。按理说，这个序言本身是真正的冯内古特（而非小说中的人物）写的，所以序言不是文学性的。当序言涉及自身时，就产生了一个说谎者悖论。
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序言悖论使我们回想起数学家威廉·尚克斯毕生悲剧性的工作。他一生致力于计算圆周率，他在计算第528位小数时出了错，导致以后的全部工作都无效了。设想你正在写一本名为“圆周率的数字”的书。书的第一页上写着：“圆周率的第一个有效数字是3。”此后的每一页都承续上一页记录圆周率的十进制小数的下一个数字。你用手摇计算器得出数字。你是个有水平的数学家，采用的是公认有效的算法。因此，你有理由相信自己算出的每一个数字都是对的。
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当你算到第1 000位的时候，你发现，你很可能已经在计算中犯了至少一个错误。哎哟！你的处境比梅金森的序言悖论还要糟。计算新的一位数字依赖于先前的计算结果（就像在长除法中一样）。你不能直接确定圆周率的第1 000位数字，在此之前，你必须先确定第999位数字，而为此你必须确定第998位数字，依此类推。如果在计算某一位数字时出了错，那么随后的所有数字都是无效的。这就好比竖起1 000张多米诺骨牌，一旦第307张骨牌倒向右侧，其后的每一张骨牌都会倒下。如果在前1 000位数字中至少有一处错误，则第1 000位一定是错的。[3]同样，第999位、第998位以及此前的一长串数字很可能也是如此。
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和期望悖论一样，序言悖论质疑了在涉及归纳概率的、没有确定性的场合下演绎推理的作用。由于科学家借重于概率更甚于确定性，这个问题值得深思。
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我们的世界观由一系列观念构成，这些观念大体上是真实、合理的（至少我们是这样认为的）。序言悖论提出一个问题：在合理的观念之中是否可能包含逻辑矛盾。请注意，在悖论内部包含着悖论。书的作者有这样一个观念：书中的每一个命题单独考虑都是真的，但是以整体上来说书中一定包含错误。这个观念包含矛盾。假定这本书做出了1 000个不同的判断，这些判断都是正确的，而且相互一致；而序言中的声明（“本书中至少有一个命题是错误的”）是第1 001个判断。这就产生了一个极为奇异的矛盾：虽然全部1 001个判断构成的整体是自相矛盾的，但是从中任意取出1 000个判断，则这1 000个判断在逻辑上相互一致。
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在小亨利·E·屈贝里（Henry E. Kyburg Jr.）提出的“彩票悖论”（1961）中，概率的地位更加明显。任何一个买彩票的人都不能合理地期望赢，因为结果相反的概率太大了。但是事实上总会有某个人赢，如果每个人都预计自己不会赢，则与这个事实矛盾。在实际生活中这个可疑的推理链条又向前推进了一步。“既然一定会有某个人赢，你怎么知道这个人就不是我呢？”这个想法不符合理性推断，但是国家彩票的广告词就是这么说的。屈贝里认为，一个人的合理观念的集合可能在逻辑上是矛盾的。
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梅金森的序言悖论和屈贝里的彩票悖论涉及的深层问题在于，大量观念汇集在一起可能把矛盾隐藏起来。在一个由100万个命题构成的集合中，某个单独的命题可能会引入一个微妙的矛盾。请考虑这个连锁推理：
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1.艾丽斯是个逻辑学家。
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2.所有逻辑学家都吃猪排。
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3.所有吃猪排的人都是克里特岛人。
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4.所有克里特岛人都是说谎者。
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5.所有说谎者都是出租车司机。
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