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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 第8章 无限：汤姆森灯
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“汤姆森灯”［得名于詹姆士·F·汤姆森（James F. Thomson）］看起来与其他灯没什么两样，由一个按钮开关控制。摁一下按钮灯亮，再摁一下灯灭，再摁一下灯又亮。一个超自然的精灵喜欢这样玩这盏灯：把灯点亮1/2分钟，然后熄灭1/4分钟，再点亮1/8分钟，而后熄灭1/16分钟，依此类推。“1/2+1/4+1/8+……”这个级数是我们熟悉的，它最终等于1。因此，到1分钟的最后一瞬为止，这个精灵摁了无穷多次开关。在最后一瞬，灯是开着的，还是关着的？
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每个人都知道，从物理的角度看这种灯显然是不可能存在的。然而，我们的想象力并不受凡俗的物理学束缚，关于此灯的操作描述已经达到了最大可能的逻辑精确性。为了判定灯是开是灭，我们已经获得了全部的必要信息——看来这是不可辩驳的。此外，灯要么开要么灭——看来这也是不可辩驳的。
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然而，试图解答汤姆森灯这个谜题是可笑的，因为这个问题等同于判定最大的整数是奇数还是偶数！
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圆周率机
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“圆周率机”更令我们不安。这是一种神奇的机器，其外观像老式的收银机。打开这台机器，它开始迅速地计算圆周率的各位数字（圆周率是直径为1的圆的周长）。在古希腊、罗马时代，人们就已经知道圆周率是一个无限小数：3.141 592 65……圆周率计算每一位数字所需的时间等于计算上一位数字的时间的一半，通过这种方法计算所需的时间得到压缩。每当一位数字被确定，这个数字立刻会弹入机器顶端的一个窗口中。在任意一个时刻，只有刚刚得到的数字会出现在窗口中。
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如果计算第一位数字需要30秒，那么计算圆周率的所有数字所需的时间为1分钟。[1]不仅如此，在1分钟结束时，机器将如假包换地显示出圆周率的最后一位数字！当然，这纯粹是痴人说梦，因为圆周率的最后一位数字不存在。
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第三台不可能的机器是皮亚诺机。这台机器像是一支自动伸缩笛，笛身上标有刻度，像尺子一样。一端标有数字“0”，另一端标有数字“1”。一个游标从“1”端滑向“0”端，历时1分钟，匀速滑动。当游标经过的点的刻度为整数的倒数时，一只机械嘴会读出这个整数。随着游标的滑动，声调越来越高，同时，读数字的速度越来越快。
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例如，在这1分钟刚开始时，游标位于刻度1，而1的倒数是1，机器用厚重的男中音朗读“1”。30秒过后，游标位于刻度0.5处，0.5的倒数是2，机器朗读“2”（声音已经变成男高音）。又10秒过后，机器用女低音读“3”。又5秒过后，是女高音的“4”。
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在这1分钟接近结束的时候，朗读声变得迅速而猛烈。声调逐渐增高，尖锐到人耳听不到的程度。有一阵子狗会发出呜咽声，狂躁地用爪子刨地……而后狗的耳朵也听不见机器的朗读声了。在这1分钟结束的时候，每个自然数都被这个机器朗读出来了。
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芝诺悖论
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“无限”是一个用来表示这个巨大的、我们无法完全领会的世界的符号，它是悖论中极常见的主题。悖论中经常包含着无限对自鸣得意的日常世界的冲击和威胁。
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在最古老的关于无限的悖论中，有一些归功于埃利亚的芝诺（生活于公元前5世纪）。芝诺在一本书中（大约写于公元前460年左右）记录了他的悖论，此书已失传。芝诺好辩，乐于证明时间、运动以及其他我们习以为常的东西并不存在。他最著名的悖论是这样的：善跑的阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟在阿基里斯前面起跑，比方说，领先1米。为了追上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点。当他到达这个位置时，乌龟已经往前跑了一段较短的距离——10厘米。现在阿基里斯必须再跑10厘米才能追上乌龟，但是与此同时，乌龟又往前跑了1厘米。以上分析过程可以无穷延续，乌龟领先阿基里斯的距离会越来越短，但是阿基里斯永远也追不上乌龟。
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芝诺否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你可以表明某个东西涉及无穷，你就可以证明这个东西是不存在的。在现代人看来，芝诺的某些论证缺乏说服力。芝诺的表现就像是一个永远拒绝无穷级数的顽固、古怪的数学家。阿基里斯必须跑的距离构成了一个无穷级数，加起来等于111.111……厘米（即111又1/9厘米）[2]，这是一个有限数。所谓的“无限”只是芝诺分析的结果，并非物理意义上的无限。
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在芝诺发明的悖论中，“飞矢不动”悖论更令人困惑。一支箭在空中飞过。在时间历程中的任意一个瞬间，这支箭是静止的。在这个瞬间，箭就像处于一张静止的照片中，或者说，就像是从拍摄飞箭的电影中截出的一个孤立的画面。时间是由无穷多个这样的瞬间构成的，既然在每个瞬间箭都是纹丝不动的，箭的运动又何在？
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飞矢不动悖论值得深入思考。我们把这个问题移植到现代语境中。假设有一支箭，它是由原子构成的。它在相对论情境下的时空中运动，我们在一个惯性参照系中对它进行测量。在这种表述中，我们以日常含义使用“时间中的一个瞬间”这个词组，和芝诺一样。我们依然接受因果关系：将来是由现在决定的，而现在是由过去决定的。（除了在量子层次上——我们可以暂且忽略这种考虑吧？）在完全静止的一个瞬间，一支飞行的箭与一支静止的箭有何不同？看来这支运动的箭上一定附着了一些信息以区别于静止的箭。否则，它怎么“知道”在下一个瞬间会疾射向前？
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就本书的讨论范围而言，我们更关注当代人的“无限机器”悖论。这些悖论是在芝诺的启发下诞生的。他们质疑的是知识，而非运动学。关于无穷级数的现代理论无助于解答这些问题。每台机器的操作都属于超级任务，其动作涉及无限。然而，这些动作可以被清晰地描述——尽管完成动作本身也许是不可能的。在每个例子中，超级任务允诺我们瞥一眼不可知的事物——例如希腊神话中的美杜莎。[3]
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注重实际的人也许会对无穷机器的想法表示质疑。关于超级任务的哲学讨论就好比医生为一种并不存在的疾病寻找疗法。然而，超级任务可以和真实世界中的某些过程类比。这些问题表现出来的奇特状态只有通过由一系列离散的动作组成的无穷（或接近无穷）的序列才能得到解答，这是值得研究的。
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造一盏汤姆森灯
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关于无穷机器的某些讨论关注操作细节。虽然机器的实用性似乎与讨论无关，但是略微分析一下细节也许有助于发现其中的逻辑困难。阿道夫·格林鲍姆（Adolf Grünbaum）分析了这三台机器。
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针对汤姆森灯的一种反对观点是，电灯泡不可能无限且迅速地被打开、熄灭。在操作过程中的一个过去的确定时刻，当电流接通时灯丝没有足够的时间完全被加热，而当电流断开时灯丝没有足够的时间冷却。在最后阶段，灯丝可能始终处于半明半暗的状态。
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此外，每个人都知道，连续开关电灯泡很容易把灯泡烧坏。汤姆森灯的灯泡一定会烧坏。
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阿道夫·格林鲍姆认为，这些讨论都没说到点子上。问题的关键是，在这1分钟结束时，灯泡是亮的还是灭的？即使灯泡烧坏了也不要紧，在这1分钟过后，我们总可以卸下坏灯泡，拧上一个新的，看看它亮不亮。
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