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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739716]
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造一盏汤姆森灯
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关于无穷机器的某些讨论关注操作细节。虽然机器的实用性似乎与讨论无关，但是略微分析一下细节也许有助于发现其中的逻辑困难。阿道夫·格林鲍姆（Adolf Grünbaum）分析了这三台机器。
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针对汤姆森灯的一种反对观点是，电灯泡不可能无限且迅速地被打开、熄灭。在操作过程中的一个过去的确定时刻，当电流接通时灯丝没有足够的时间完全被加热，而当电流断开时灯丝没有足够的时间冷却。在最后阶段，灯丝可能始终处于半明半暗的状态。
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此外，每个人都知道，连续开关电灯泡很容易把灯泡烧坏。汤姆森灯的灯泡一定会烧坏。
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阿道夫·格林鲍姆认为，这些讨论都没说到点子上。问题的关键是，在这1分钟结束时，灯泡是亮的还是灭的？即使灯泡烧坏了也不要紧，在这1分钟过后，我们总可以卸下坏灯泡，拧上一个新的，看看它亮不亮。
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真正的问题在于开关。汤姆森灯的开关按钮在每一次打开或关闭时，显然要经过一段距离。因此，按钮必须在有限的时间内经过无限的距离。一个物理上的限制足以提出反驳：在这1分钟接近结束时，按钮的运动速度一定会超过光速，而这是不可能的。
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按钮将往复运动无限距离的这个问题并不重要——实际上，按钮不需要走这么远。格林鲍姆和艾伦·贾尼斯（Allen Janis）做了一点改进，得到了升级版的汤姆森灯。改进之后的情况更有道理。
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把按钮画成一个垂直的圆柱，其底部是导电的。当按钮被完全摁下时，圆柱的底部接触电路的两个裸露电极，电流流过圆柱底部，点亮灯泡。
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每当灯应当点亮时，按钮接在连通的电路上；每当灯应当熄灭时，按钮以恒定的速度沿上下方向做一个短程运动。每一次按钮弹起的距离仅限于时间允许的范围内，而运动速度是固定的。
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在最初的30秒中，按钮压在电极上，灯泡是亮的。再过15秒，灯泡关闭。按钮先用7.5秒向上弹起，又用7.5秒回落。然后，按钮在电路上停留7.5秒，这段时间电路接通，灯泡又亮了。再往后，按钮用1.875秒向上弹起，用1.875秒回落，灯泡保持熄灭3.75秒。
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按钮起落无穷多次，但是每一次移动的距离都是上一次的1/4，就像是一只弹性不大好的球。在整个操作中，按钮移动的总距离同总时间一样，是个有限数。移动速度是常数，比光速小得多。
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遗憾的是，格林鲍姆和贾尼斯的改进还是不能彻底挽救汤姆森灯。按钮在往复运动的过程中需要加速和减速，而加速度会超过任意的固定值。看起来，无限大的加速度毕竟比无限大的速度容易接受，但是……任何物理对象都只能承受一定限度内的加速度。在某一时刻，加速度肯定会摧毁按钮，其效果就和用锤子砸碎的效果一样。
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改进版的汤姆森灯有一个更严重的问题：在1分钟之后灯是开是灭已经不是问题。在操作过程中，按钮的底部与电路之间的距离越来越小，最终恰好停在电路项上。（就好像一只球在地板上蹦，最终落在地板上。）改进版的汤姆森灯在操作结束时一定是亮的。修改开关的结构就会导致这种令人不满的结果。这个改进版的汤姆森灯与原来的汤姆森灯有关系吗？——确实成问题。
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在设计圆周率机和皮亚诺机时也会遇到一些问题，有的与上面的问题类似，有的则不是。［顺便说一句，皮亚诺机的名字是格林鲍姆起的，是为了纪念意大利数论家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）。］圆周率机的问题是，计算圆周率的数字的过程怎么可能这么快。下文将提到，计算速度如同运动速度一样，是有上限的。在数字向窗口中弹出的过程中，为了避免运动速度达到无限，运动的距离必须递减。最终，我们将无法判断正在显示的是哪个数字。圆周率机可以换一种显示模式，每个数字被打印出来，数字的字体表现为超现实主义风格：每个数字的高度是上一个数字的一半。全部计算结果可为一张索引卡片所容纳。但是有一个问题：即使用最强大的电子显微镜也看不出最后一位数字是几。
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皮亚诺机有一个独特的问题：数字的读法越来越复杂。干净利落地读出一个100位的数也要花很长时间。贾尼斯建议不采用日常语言的读法。他的方案是，设计一个编码方法，让每一个数对应一个频率确定的音调，然后用哨音把数字“吹”出来。
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发出一个声音需要消耗多少能量取决于频率（音调）和振幅（音量）。为了避免能量需求达到无穷大，随着频率的增加，振幅必须减小。在这1分钟的最后一瞬，机械嘴的音量将下降到0。你无法听到最后的哨音——即使你的耳朵有能力捕捉音调无限高的声音。
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请注意：如果试图以更具物理上的可实现性的方式设计三种无限机器中的任何一种，都会导致一个结论——最后的结果是不可见的（或不可闻的）。许多哲学家认为，在涉及无限机器、超级任务以及只有通过超级任务才能了解的事实时，总是有些可疑的东西。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739717]
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几何级数
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无限——完全就其本意来说是不可理解的，但是趋近于无限的情况随处可见。有一个印度传说，什里姆国王（King Shirim）曾经落入西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）的圈套。达希尔是国王的大臣，发明了国际象棋。国王钟爱这一游戏，决定重赏发明者。因为国际象棋棋盘有64个格子，国王决定为每个格子赏赐达希尔一块金子。达希尔礼貌地谢绝了这份赏赐，恳请国王以另一种方式奖励他。他请求国王在棋盘的第一个方格上放一粒麦子，在第二个方格上放两粒麦子，在第三个方格上放四粒麦子，依此类推，每个方格上的麦粒数是上一个方格的2倍，直到棋盘的每一个方格上都分配了麦粒。
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因感动于达希尔的谦虚，国王收回成命，转而下令拿来一袋麦子，按照达希尔的要求仔细地数出麦粒来。当国王的仆人们对付第12个方格时，他们就已经无法把所有的麦粒放进方格里了，只好把大臣应得的麦子在棋盘旁堆成一堆。国王吃惊地发现，第20个方格还没被满足，一袋麦子就耗尽了。他下令取来更多的麦子……最后所有的麦子都用完了。他的王国的所有麦子加在一起也无法满足达希尔的要求，不仅如此，全印度乃至全世界的麦子加在一起也不够用。
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这个故事的寓意在于，永远不要低估几何级数。当然，从民间故事里挖掘出数学含义有点奇怪。根据国王最初的想法，赏给达希尔的金子直接和棋盘包含的方格数成正比。如果达希尔设计的棋盘不是64个方格，而是81个、49个或者其他数字，从国王的角度说都没有太大的差别。区区几块金子与国王的财富相比，算得了什么呢？
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然而，几何级数的增长超出世间的任何限制——对于财富或任何其他东西都是如此。达希尔要求以麦粒为单位来赏赐，麦粒的价值与金块相比微不足道，但是这个事实对最终结果几乎没有影响。
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我们看一下，多少粒麦子才能满足达希尔的要求。这个总数是1+2+4+8+…，换一种写法，即20+21+22+23+…262+263。（这个级数的最后一位是263，不是264，因为第一个方格中的麦粒数是20，即1。）