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回到古典世界 31 理念的穷竭法
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宇宙的本原究竟怎样？从古到今的哲学，历来就有两种解释。这两种解释都来自古希腊，一种解释是物理性的，从泰勒斯开始；还有一种解释是数学化的，始于毕达哥拉斯。
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到了柏拉图，数学化的结构被理念论赋予了纯粹理性的形式。在欧氏几何学里，纯粹理性的形式，通过公理化和定义式的逻辑演绎，从理念世界向物理世界下降，重新回到了它的数学结构，以辩证法的方式回到自己的家园。试以数学为中介，把两个世界连接起来，方能真正理解。
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在埃及和西亚两河流域，产生了古老的数学，但那都是应用数学，唯有古希腊产生了思想的数学。应用要解决实际问题，而思想则要解决“几何”——“理念是什么”的问题。
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据说，曾有学生这样问欧氏：“老师，学习几何会使我得到什么好处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点儿钱给这位学生，冷冷地说道：“看来你拿不到钱，是不肯学习几何学的！”
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看上去没用，但事实证明，不以实用为目的的逻辑几何学在实用方面同样能解决问题，而且解决得更好。欧氏游学埃及时，或曰“欲知金字塔高度，比登天还难”，他说：“这有何难？当你的影子跟你的身体一样长的时候，你去量一下金字塔的影子有多长，那长度便等于金字塔的高度。”
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理念世界的原理，就这样被用于现实世界了。就像苹果落地引出牛顿的“万有引力”一样，欧氏测量金字塔这样一个思想性的实验，不经意地解决了柏拉图哲学的一个困境，那就是两个世界如何联系，亦即事物对理念如何“分有”和“模仿”以及是否可能的问题。欧氏测量金字塔，以人为尺度，这应验了苏格拉底接着普罗塔哥拉说的那句话“有思想力的人是万物的尺度”，更证明了柏拉图所求的“尺度”就是数学思维方式——从数的理念到一整套数学图形构成的操作工具。如果说，普、苏二人还在探究什么是“尺度”，那么柏拉图就从探究“什么是尺度”转向追问“尺度本身是什么”了。
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上帝以人为万物尺度，这是一种目的论的安排。安排归安排，但人要达此目的，还得有思想力，唯思想者能为万物尺度。然，尺度者，岂非思想的度量衡，理念之工具也？若谓上帝以人度物，那么“分有”并“模仿”上帝的人以何度物？曰非理性莫属。人以理性为自然立法，思想必须理性化。理性化的尺度，在人与人之间是法律，在人与神之间则是灵魂的数学化存在，化为几何形式。
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这样，我们可以来回答“尺度本身是什么”了，即以理念为核心由一整套逻辑工具构造起来的纯粹理性的哲理数学的几何形式。它是理念世界的理性化摹本，分有了神的创世理念，又是现实世界的原理和原型，以之为两个世界的中介，理念世界才可以被理解，现实世界才能被理性安排。
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柏拉图最担心的，是理念世界和现实世界割裂，使有关美本身、善本身等本来作为认识对象的存在反而无法认识，还因人神相隔，导致“神不是我们的主人，不知道人类的事情”，这样一来，求知者在通往知识的道路上就会陷入不可知的泥潭，敬神者在走向神的信途中反而成了无神者。
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数学，唯有数学，连接了两个世界，用公理自明显示了神的存在，还以“化圆为方”，引导现实世界的“方”，去“穷竭”理念世界的“圆”。一如方可穷近于圆，现实也这样通往理念。或曰数学拯救了柏拉图的理念，看来柏拉图学园门前的那块牌子——“不懂几何者不得入内”良非虚言。
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“穷竭法”并非柏拉图发明。在他之前，已有人“化圆为方”，欲以圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积，但那还是出于标尺作图，只能使用直尺和圆规，故目标难以实现。可那个思想，从此进入柏拉图学园，并在那里成长。引导其生长的，并非作图需要的实用目标，而是理念世界。事实上，从实用目标出发提出这一思想的先驱者，在经历了不可能实现的追求以后，都停止了追求。只有不在乎实际目的，追求终极目标，也就是说，当实用数学本身的动力不足以驱动那无休止的追求时，就需要一种新的动力来参与新一轮接力赛，于是，理念来了，带着新的数学来了，来引导“穷竭法”通往理念世界。
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柏拉图应该是懂得“穷竭法”的。在“穷竭法”中，“圆”是理念世界，“方”为现实世界，通过“化圆为方”，两个世界联系起来。在语言消失的地方，数学出现了。当语言的局限导致不可知论和无神论的时候，数学就有了“穷竭法”；在文字表达难以企及处，数学符号才那么光芒四射。
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正是柏拉图学派将“穷竭法”体系化了。在体系化的进程中，微积分开始萌芽，直到十九世纪出现“超越数”的概念，才知道在有限的代数数之外，还有着几乎无穷尽的“超越数”存在。因为“超越数”不可数，所以，区分两种数，并证明其存在很难。在已知几个“超越数”中，其中有一个就从求解“化圆为方”问题而来，证明用直尺圆规做出线段π即圆周率是“超越数”，故“化圆为方”无解。不过，数学上无解，不等于哲学上也无解。数学上的“超越数”存在，也许恰好可用来求证理念世界。
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回到古典世界 32 谁说灵魂死了
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古希腊人的哲学思想，有两种对现代还发生影响。
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一种是追问世界本原，还有就是把世界还原为数学结构。
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其代表为“原子论”和《几何原本》，在思想史上交相辉映。
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原子论，可以说是自然哲学思想——“元素说”的集大成。它统一了由某一特定元素所规定的具体属性，而有了普遍的物质属性。从元素说到原子论，水到渠成，德谟克利特成为这一思想路线的领军人。另一条路线，从“万物都是数”到《几何原本》，思想的源头，从毕达哥拉斯学派来，往柏拉图学园去，化为纯粹理性的活水，被抽象到理念世界的天空，并获得相应的数学形式。
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《几何原本》，可以说是“数学里的《圣经》”。此前，可能还没人这样说过，但我们看《几何原本》的影响，远远超过《圣经》，因为《几何原本》超越地域、民族、国家，还超越了各种宗教信仰和文化，放之四海，几乎影响了全人类，这便是纯粹理性的好处。而《圣经》影响的范围，主要还是信仰者；当柏拉图哲学成为基督教神学的主流思想时，《几何原本》也就成为神学必读了。
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通过几何学去认识上帝，开显灵魂，是基督教神学的必修课。当柏拉图学派用几何学的理念和形式，表现了纯粹理性的样子时，德谟克利特却在他的哲学里宣布“灵魂死了”。他告诉那些相信灵魂不死的希腊人说，死是自然过程，人一死，自然之身就解体，灵魂当然也就不存在了。
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就像尼采宣告“上帝死了”一样，希腊人愤怒了。怒之尤者，莫过于柏拉图，居然放出狠话，说要将他的著作全都买下，然后付之一炬。不知是说说而已，还是真的就这么做了。德谟克利特本就是个百科全书式的作者，据说著作等身，却寥寥仅存，或许真如柏拉图所言？那倒不一定。但柏拉图的话，肯定起了号召作用。书以传承知识，而知识就是灵魂的呈现。魂之不存，书有何用？
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愤怒之余，人们都说他疯了，有个好心的邻居，替他请来名医希波克拉底。
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