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统计学的世界（第8版） [:1702629690]
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统计学的世界（第8版） 第3部分 机会与概率
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“如果我有当国王的机会，我就有戴上皇冠的命。”麦克白在莎士比亚剧中这样说。机会的确会作弄我们每个人，而我们却没有多少能耐了解或者控制它。不过，有的时候机会也能被驯服。掷色子、简单随机样本，甚至来自遗传基因的眼珠颜色或者血型，代表已经安分下来的机会，这是我们可以了解和控制的。与麦克白或者我们的一生不同，色子是可以一掷再掷的。结果是由机会决定的，但是在多次重复之后，会有某种模式出现。因为我们可以描述它的模式，使得机会不再神秘莫测。
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不论是几何里的圆和三角形，还是行星的运行，我们都用数学来描述它们的模式。当我们可以不断重复某种随机现象，使得机会变得可掌握时，我们就会用数学来描述这个随机现象的规律或模式。关于机会的数学叫作“概率”（probability）。概率是这一部分的主题，我们会少讲数学而着重于实验和思考。
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统计学的世界（第8版） [:1702629691]
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统计学的世界（第8版） 第17章 思考随机事件
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案例分析
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2012年2月29日，犹他州普罗沃一位女性连续第三次在同一日期生下婴儿，打破了20世纪60年代创下的纪录。美联社报道了这条消息，之后其他美国媒体也转载了这条令人惊讶的消息。如果生产日期是随机和独立的，统计学家可以证明这样的事情的发生概率大约只有30亿分之一。如此罕见使得这条消息颇具新闻价值。
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这件事到底有多令人惊讶呢？在这一章，我们将学习如何解释30亿分之一的概率。学完这一章，你将能够评估这样的巧合事件真的像看上去的那么令人惊奇吗？
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概率的概念
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机会是难以捉摸的，让我们从考虑“如果我们这样做许多次，将会发生什么事情”开始。在我们思考更复杂的情况之前，可以先从抛一枚硬币，猜测会出现正面还是反面入手。
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即便是美式橄榄球比赛规则也认为，抛硬币可以避免偏袒行为。抽样调查挑选调查对象时，或者医学临床试验将病人分配到处理组或安慰剂组时，如果有偏袒，就像美式橄榄球比赛开始时决定球先给哪一队时有所偏袒一样，都是不能接受的。这就是为什么统计学家建议使用随机样本与随机实验，这些都是抛硬币的花哨版本。如果我们仔细观察抛硬币或者随机抽样的结果，一个重要事实就会浮现出来：短期随机现象无法预测，但是长期下来，会呈现出有规则且可预测的模式。
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抛一枚硬币或者选择一个简单随机样本，都无法在事前预测结果；因为如果你重复掷硬币或选样本，结果就会次次不同。但还是可以在结果里面看到某种规则的模式，只有在重复许多次以后，这个模式才会清晰地浮现出来。这个了不起的事实，就是概率概念的基础。
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例1 抛硬币
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当你抛一枚硬币的时候，结果只有两种可能：正面朝上或反面朝上。图17-1显示了抛硬币1000次的结果。在这1000次投掷中，将正面朝上的比例画在图上。第一次的结果是正面朝上，所以正面朝上的比例是1，第二次是反面朝上，此时正面朝上的比例降为0.5。再接下去的4次，是1次正面朝上和3次反面朝上，所以6次投掷后正面朝上的比例是2/6，也就是0.333。
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开始时正面朝上的比例变化很大，随着投掷的次数增多，这个比例会逐渐稳定下来，靠近0.5，而且会维持在0.5附近。我们把0.5称为正面朝上的概率，并用一条水平线将它表示出来。
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统计学里的“随机性”并不是“偶然性”的同义词，而是在描述某种长期下来才会出现的规则。我们在每一天的生活中，都会碰到随机性不可预测的那一面，但我们很少有机会能重复观察同一个随机现象许多次，而且次数多到能够看出规则或模式。你可以在图17-1中看到规则的出现，从长期来看，正面朝上的比例是0.5，这是概率的直觉概念。概率为0.5表示“在尝试多次的情况下，有一半的可能性会发生”。
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图17-1 抛硬币许多次，正面朝上的比例随着我们投掷的次数而改变，但最终会非常接近0.5，这就是我们说的“正面朝上的概率是一半”的意思
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我们可能仅仅因为硬币只有两面，就会猜正面朝上的概率是0.5。但是，婴儿的性别也只有两种可能，概率却不一样——生男婴的概率差不多是0.51，而不是0.50。概率的概念源自经验法则，也就是说，是根据数据而不是根据理论得来的。概率描述在重复多次后会发生什么情况，我们必须真的观察许多次抛硬币的结果或许多的婴儿，才能够了解这个概率。说到抛硬币，有些勤快的人还真的投掷过成千上万次硬币呢。
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例2 抛硬币的人
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法国自然科学家布冯伯爵将一枚硬币抛了4040次，结果有2048次正面朝上，即正面朝上的比例为2048/4040=0.5069。
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大约在1900年，英国统计学家卡尔·皮尔逊竟然抛了24000次硬币，结果有12012次正面朝上，比例为0.5005。
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南非数学家约翰·克里奇在第二次世界大战期间被关在监狱里，他抛了10000次硬币，结果有5067次正面朝上，比例为0.5067。
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