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量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644821]
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 附录13.A 关于对数和指数的一些代数基础
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对于那些忘记了基础代数知识的读者，下面是一些关于自然对数和反对数（指数）的有用的等式：
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eln（X）=X
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ln（X×Y）=ln（X）+ln（Y）
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ln（X/Y）=ln（X）-ln（Y）
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X×Y=eln（X）eln（Y）=e（ln（X）+ln（Y））
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e（X+Y）=eX×eY
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e（X-Y）=eX×eY
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ln（XP）=P×ln（X）
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XP=（eln（X））P=eP×ln（X）
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注意，Y=ln（X）和X=eY是等价的。
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644822]
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 附录13.B Probit分析介绍
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正如本章在开始时提到的，除了逻辑斯蒂回归之外，用来预测二分因变量模型的另一个模型是probit模型，其定义为：
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这里，Φ是标准累积正态分布，并且有k个预测变量。从此定义可知，β是z值（z scores），相应的概率由对应于某一z值的正态曲线下的面积决定。这可以由Stata中的-normal-命令完成。
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回到本章在介绍逻辑斯蒂回归模型的解释方法时所使用的例子——受到枪械威胁或枪击可能性的决定因素。表13-B.1列出了probit模型的系数b，对应于表13-3中模型2和4的逻辑斯蒂回归系数。注意，probit模型和logit模型得出的结论相似，差别只在于模型4中的交互项在用logit模型估计时接近显著，而在用probit模型估计时则不显著。
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因为probit是z值，所以它们表示的是预测变量一个单位的变化所引起的潜在因变量〔StataCorp，2007（Reference I-P，620）称之为“probit指标”（probit index）〕以标准差为单位的期望值的变化。然而，probit和logit都具有一个特征，即当其他变量被引入模型时潜在变量的方差会发生变化。这意味着，通过比较各方程中对应的probit来评估中间变量的影响（就像我们比较OLS的回归系数那样）是不合适的。如果要进行这种比较，我们必须首先将潜在因变量除以潜在分布的方差以将其标准化。这样就得到Y*标准化系数，它们可以在具有不同数量预测变量的方程之间直接进行比较。要了解如何实现这一过程，参阅下一章对序次logit模型Y*标准化系数的讨论〔注意，在公式14.9中probit模型的var（μ）=1〕。
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因为probits和Y*标准化probits都没有度量单位，所以很难加以解释。因此，通常用下面两种方法中的一种对probits进行转换：在给定预测变量的具体取值的情况下计算正向结果的期望概率，或者解释每个预测变量的变化对正向结果概率的边际效应（marginal effect）。
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再回到上面的例子。我们在本章知道了如何用模型4中的logit系数来评估不同种族和性别的期望概率。为了从probit模型中计算出相应的概率，我们需要先预测z值，然后通过累积正态变换将它们转换成概率。回想我们对在1994年时完成20年教育的人群估计的logit方程。要对在同一年调查的、受教育年限相同的人群估计probit方程，我们需要计算一个新的截距：a′=a+bE×20+bY×94=-1.7117-0.0114×20+0.0062×94=-1.3569（这里，bE是受教育年限的probit系数，bY是调查年份的probit系数）。然后，我们写出不同种族和性别的期望z值（其中，bM是男性变量的系数，bB是黑人变量的系数，bBM是交互项的系数），用Stata的-normal-命令对它们进行变换：
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非黑人 黑人
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女性 Φ（a′） Φ（a′+bB）
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男性 Φ（a′+bM） Φ（a′+bB+bM+bBM）
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