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运用数学赌博的人
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当然，巴施里耶并不是将数学知识运用到赌博游戏中的第一人。这一荣誉应该归于意大利文艺复兴时期的吉罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）。卡尔达诺出生于16世纪的米兰，他是他所生活的时代知识最渊博的内科医生，连教皇和国王都要听从他的医学建议。他发表了几百篇论文，研究主题涵盖医学、数学和神秘主义。不过，他真正感兴趣的是赌博。他自己经常赌博，包括玩骰子、纸牌和国际象棋。在他的自传里，他承认有几年时间，他几乎天天都赌博。在中世纪和文艺复兴时期，赌博的概念是比较简单直接的。赌博考虑的就是可能性和结果，类似于今天的赛马游戏。如果你是一个赌马的人，并与某人打赌，你可能会采用简单的数字赌法，比如“10赔1”或者“3赔2”，这些数字能够比较直观地反映出你打赌的事情不会出现的概率有多大。“10赔1”的赌法意味着，如果你下1美元的赌注，而且你赢了，那么，作为胜利方，你可以获得10美元，再加上你的初始本金。如果你输了，那么你的损失就是1美元。不过，这些数字很大程度上取决于赌博者对赌局可能出现的结果的直观感觉。卡尔达诺觉得应该存在某种严格的方式来解读这些赌局，至少可以重新审视那些简单的赌局。在他所处的那个时代，他特别希望能够将现代数学知识用于他最钟爱的赌博上。
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1526年，当卡尔达诺还只有20多岁的时候，他就写过一本书，用概率系统理论开始了他的第一次尝试。他重点关注的赌博游戏就是掷骰子。他的基本想法是这样的，如果一个骰子某一面出现的概率跟其他面一样，那么，人们就可以计算出各种组合出现的准确概率。从本质上来讲，这就是一个计算问题。
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比如说，掷一次标准的骰子可能出现的结果有6种，这样的话就能够计算出掷出数字5的准确概率是多少。因此，出现数字5的可能性应该就是1/6（相应地，赔率是5赔1）。但是，如果你掷两个骰子，那么出现数字10的概率又应该是多少呢？这种投掷方法一共有36种可能性，而其中有3种可能性的结果会出现数字10。因此，掷两下骰子，数字总和是10的概率就是3/36（相应地，赔率就是33赔3）。这种算法现在看起来好像显得很小儿科，即使是在16世纪，这个结果看上去也不让人觉得有多么神奇。任何愿意在赌博上花时间的赌博者，都能对掷骰子游戏培养出这样的直觉，然而，卡尔达诺却是第一个从数学的角度来思考为什么会是这样的概率结果的人，尽管这些结果对很多人来说是稀松平常的一件事。
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卡尔达诺的书生前从未被出版过，毕竟，为什么要将自己的赌博秘籍全然示人呢？但是，在他死后，这些手稿还是被人发现了，并且最终在他去世一个世纪之后的1663年出版了。而在那个时候，其他人已经对概率理论做了非常全面的梳理。这些理论中，最著名的是来自另外一位赌博者的手稿。这个人名为德·梅尔（De Mere），他是法国的一位爵士（事实上，他并不是一个有名的人）。梅尔对数字特别感兴趣，他最喜欢在玩骰子游戏中运用他的概率策略。这个游戏的玩法是一连串地掷好几次骰子，玩家必须就这一系列骰子的数字押注。例如，如果你打赌连续掷骰子4次，那么，在这4次当中，你可能至少会投出一个6。在一般人看来，这就是一个公平的赌局，赌博的结果好坏完全凭运气。但是梅尔却凭直觉认为，如果你打赌6会被投出，那么，每次你参加这样的赌局时，你都选择6，这样的话，次数多了，你赢的概率就会慢慢高于输的概率。这就是梅尔赌博策略的基本思想，这帮助他赢了很多钱。然而，梅尔还有第二个策略，他认为这个策略更好，可由于某些原因，这个策略给他带来的反而只是些悲痛的经历。这第二个策略就是，当你连续同时投两个骰子24次的时候，至少会出现一次两个6的可能。不过，这个策略好像并不管用，梅尔很想知道为什么会这样。
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作为作家，梅尔会定期参加巴黎的各种沙龙活动。沙龙活动是法国知识分子们最热衷的聚会，其性质介于鸡尾酒会与学术研讨会两者之间。沙龙活动让受过高等教育的法国人聚集在一起，这其中就有数学家们。于是，梅尔开始向他碰到的数学家们请教他所遇到的难题。没有人给他答案，或者说没有人愿意帮他寻找答案，直到他将这个问题抛给了布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）。帕斯卡是一个天才少年，当他还是一个孩子的时候，他就通过自己画图解决了很多经典的几何难题。稍微长大一点儿，他已经是由名为马丁·梅森（Martin Mersenne）的基督教神父组织的、巴黎最为重要的沙龙上的常客。正是在这个沙龙上，帕斯卡遇到了梅尔。开始，帕斯卡并不知道答案是什么，但是他被这个问题深深地吸引了。特别是，他也认同梅尔的观点，觉得这个问题应该有一个数学上的答案。
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帕斯卡开始想办法解决梅尔所提出的问题。他赢得了另外一位数学家，也就是皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的帮助。费马是一位律师，同时还是一位博学者，他能熟练运用6种语言，也是当时最有能力的数学家之一。费马住在巴黎南部大约400公里之外的图卢兹（Toulouse）。其实，帕斯卡并不与费马本人相识。但是，他通过在梅森沙龙结识的关系知道了费马这个人。在整个1654年，通过长期的书信往来，帕斯卡和费马终于找到了梅尔所提出的问题的答案。正是沿着这一思路，帕斯卡和费马建立了现代概率理论的基础。
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在帕斯卡和费马互相沟通的过程中，他们找到了精确计算在玩掷骰子赌博游戏中获胜的概率的方法，这也正是令梅尔感到困惑的地方。卡尔达诺的理论系统同样也是为了解决掷骰子赌博游戏中获胜的难题，但是没有人知道它，直到梅尔对这个问题开始感兴趣。帕斯卡和费马证明了梅尔的第一个策略之所以更好，是因为，在连续掷4次骰子的过程中，出现一次6的概率要稍微大于50%——大概是51.7747%。而梅尔的第二个策略并不是那么有效的原因就是，同时掷两个骰子，连续掷24次，出现两个6的概率大约只有49.14%，要低于50%。这意味着使用第二个策略，取得胜利的概率要低于失败的概率，而梅尔的第一个策略，更容易在掷骰子赌博游戏获得成功。能够将两位伟大的数学家的观点合二为一，为我所用，梅尔感到非常激动，从那以后，他就一直坚持使用第一个策略。
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帕斯卡和费马两个人的结论看起来很简单，至少从梅尔的角度来看是这样的。但这些数字真正意味着什么呢？很多人在既定概率基础上对某一事件可能出现的结果有非常好的直觉，然而，这实际上蕴含着一个非常深刻的哲学问题。假设我在抛硬币的时候，落下来是正面的概率为50%，大致说来，这意味着如果我一次又一次地抛硬币，我抛出硬币正面的概率大概是一半。但是，这并不表明，我能够保证出现正面的概率正好是一半。如果我抛硬币100次，我抛出正面的次数可能是51次、75次或者100次，任何次数都是有可能出现的。那么，为什么梅尔就应该如此重视帕斯卡和费马的计算结果呢？他们并不能保证，梅尔的第一个策略就一定会成功啊。虽然从概率的角度来看，这个胜利的可能性会比较大，但是，在接下来的日子里，梅尔依然可能会面对这样的情况，那就是当某人连续掷4次骰子的时候，梅尔每次押注出现一个6，但或许一次都赢不了。这听起来似乎很古怪，但是，在概率理论（或者物理学理论）看来，任何情况都有可能会出现，不能排除。
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既然概率理论并不能保证某些事情在多大程度上一定会发生，那么，它又能告诉我们什么呢？如果当初梅尔也曾经考虑过这个问题，那么，他可能要等上很长一段时间才会得到一个答案了。事实上，这个时间长达半个世纪。第一个明确提出应该如何考虑概率与事件发生频率之间关系的是瑞士的一位数学家，名叫雅各布·伯努利（Jacob Bernouli），他是在1705年去世前不久才明确指出这一关系的。伯努利是这样解释的：如果每次抛到硬币正面的概率是50%，那么，当你抛硬币的次数越来越多时，你抛出正面的概率与50%之间的差距就会越来越小。当你抛100次硬币时，你有50%的可能性会抛出正面，当你只抛两次时，你也有50%的可能性抛出正面，但是，前一种情况中的50%可能性要比后一种情况的50%可能性要大得多。这个答案可能会让人感觉靠不住，值得怀疑，因为它是用概率论的思想来解释可能性到底意味着什么。如果你对此迷惑不解，这表明你可能会做得更好。伯努利并没有意识到这一点，事实上，直到20世纪，这一问题才彻底被解决，但是我们能够证明，如果你每次抛硬币出现正面的概率是50%，当你抛的次数多达无穷时，很有可能（从本质上来看）出现正面的次数正好占一半。或者，依据梅尔的策略，如果他玩掷骰子的游戏次数无穷多，他依然每次押注数字6，那么他最终获得胜利的概率应该是51.7477%。这一结果其实就是我们所熟悉的大数定律（the law of large numbers），这一定律是概率论中最重要的理论基础之一。
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帕斯卡自己从来不参加赌博，有些滑稽的是，他在数学领域里面所做出的重要贡献竟然来自赌博。更令人啼笑皆非的是，帕斯卡之所以名气大振，竟然是因为一个以他的名字命名的赌局。1654年底，帕斯卡遭遇了一场神奇的经历，而这也改变了他的人生轨迹。他停止了在数学领域里面的所有研究工作，全身心地投入到詹森派（Jansenism）运动中。詹森派是17世纪上半叶在法国出现并流行于欧洲的基督教教派。自那时起，帕斯卡撰写了大量的与神学相关的文章，今天我们所熟悉的帕斯卡赌注（Pascal’s Wager）率先出现在他宗教文章里的脚注中。他辩论说，你可以把选择相信上帝当成一次赌博：基督教上帝可能存在，也可能不存在，一个人可以选择信仰上帝存在，也可以选择不信仰上帝存在。但是，在任何赌博开始之前，你肯定想知道，你获胜的概率有多大，以及你赢了会出现什么情况，输了又会出现什么情况。帕斯卡的推理是：如果你赌上帝是存在的，并且按照上帝教导我们的那样去生活，那么，你所做的事情都是对的，你将会升入天堂享受永生。如果你赌输了，你将会死去，而什么都不会发生。因此，同样地，如果你赌上帝不存在，而且你赌对了，你的生活将会一如既往。但是如果你赌上帝不存在，但是你赌输了，那么，你注定将会被打入万劫不复的地狱。正是因为他按照这一思路去考虑问题，帕斯卡觉得是否决定相信上帝应该是一个很简单的决策。
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市场是一个超级大赌场
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尽管巴施里耶对机会和概率的研究非常感兴趣，但是他自己的生活却并没有那么幸运。他努力工作的领域包括物理学、金融学和数学，不过他并没有在学术方面取得突破性的进展。每一次好运气似乎都要光临他，可是，往往总是在最后一刻从指尖溜走了。巴施里耶于1870年出生在法国西北部港口城市勒阿弗尔（Le Havre），在年轻的时候，他是一个非常有前途的学生。高中时期，他在数学方面表现出惊人的天赋，并于1888年10月获得了中学毕业会考科学专业的文凭。他的成绩相当优异，足以让他有权利选择进入法国的“大学校”学习，而进入“大学校”学习是成为国家公务员或学者的前提条件。巴施里耶来自一个中产阶级的商人家庭，业余爱好是科学和艺术。如果能够进入“大学校”，这将会为巴施里耶打开成为学者和教授的大门，而这些机会是他父辈或祖辈们所不曾享有的。
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可是，正当巴施里耶准备申请的时候，他的父母相继去世了，家中只剩下一个还没有结婚的姐姐和一个3岁的弟弟。在接下来的两年时间里，巴施里耶打理着家族的酒业，直到1891年，他进入部队服兵役。一年以后，当他完成兵役，从部队退伍，他才得以继续他的学业。那个时候，他重新回到学校，当时的他只有二十来岁，由于没有家庭的经济支持，他的选择面临诸多限制。由于年纪太大，他不能再申请进入“大学校”学习。于是他去了巴黎大学，这也是没有办法的选择，因为巴黎大学的名气要比“大学校”差许多。
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不过，在当时，巴黎大学依然有一部分最优秀的人在那里当教师，因为巴黎大学是法国为数不多的、可以让教师全身心投入到科研活动中而不需要考虑教学的大学之一，这也就是在索尔邦大学（巴黎大学的前身）各个研究室里产生一流的研究成果的原因。巴施里耶很快就在同龄人中认清了自己，他的成绩在学校里并不是最好的，比他还厉害的那一少部分学生中，有保罗·郎之万（Paul Langevin）和阿尔弗雷德-玛丽·利纳德（Alfred-Marie Lienard）。现在来看，这些人在数学领域的成就与巴施里耶同样有名。有这样的同学在一起学习是一件幸运的事情。在完成了本科学习后，巴施里耶留在巴黎大学继续攻读博士学位。他的研究工作吸引了当时最聪明的那群人的注意，随后他开始将这些研究成果写成论文，也就是萨缪尔森后来找到的那篇论文，他的论文主要研究的是金融市场的投机理论。巴施里耶的合作研究者是亨利·庞加莱（Henri Poincare），法国当时最著名的数学家和物理学家。
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庞加莱是指导巴施里耶的最佳人选。庞加莱在他感兴趣的每一个领域都取得了巨大的成绩，这些领域包括纯数学、天文学、物理学和工程学。在庞加莱年轻的时候，尽管他是作为本科生进入“大学校”学习的，但学习的内容与巴施里耶在巴黎大学研究生学习的内容类似。庞加莱在课余时间也做兼职，职位是矿物探测员。事实上，庞加莱一生的大部分时间都是以矿产工程师的身份参加工作的，最终他成为法国矿业集团的首席工程师。同时，他还能充分发挥应用数学的重要作用，甚至在不寻常的金融领域（在当时来看是这样的）也能够充分发挥数学的作用。如果没有一位像庞加莱这样知识渊博、研究领域广泛的老师做指导，对巴施里耶来说，想要完成他的论文，将是一件不可能实现的事情。更进一步说，庞加莱所获得的巨大成就使得他在当时法国的文化界和政界都是一个响当当的人物，所以，即使他的学生研究的主题与当时的学术界是难以相融的，庞加莱也可以通过自己的影响力给予重要的支持。
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就是在这样的情况下，巴施里耶于1900年完成了他的那篇论文。论文的基本思想是运用由卡尔达诺、帕斯卡和费马于16世纪和17世纪在数学领域新开拓的概率理论来帮助理解金融市场。换句话说，我们可以把市场理解为一个超级大赌场。当然，今天我们将股票市场比喻成赌场已经很平常，不过，这正是来源于巴施里耶的伟大思想。
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不管以什么样的学术标准来评判，巴施里耶的论文都是相当成功的，似乎无论未来出现什么情况，一切看上去都在巴施里耶的预料之中。然而，对学术界而言，这却是一个灾难。为什么这样说呢？问题出在读者身上。实际上，巴施里耶是站在即将来到的革命的最前沿阵地上的（毕竟，他刚刚创建了数理金融学），令人悲伤的是，在他那个时代，没有人能够正确地评价他所做的贡献。对巴施里耶做出评价的并不是一群跟他思想相近的学者，而是数学家和有深厚数学功底的物理学家们。在随后的时间里，即使是这些人，对巴施里耶所做的工作也表示同情。但是在1900年，欧洲大陆的数学界还是非常保守封闭的，众多数学家们的数学思想和概念仍停留在1860年左右发生危机时所形成的数学理论。在这一时期，一些非常著名的理论都被证明含有某些错误。这让数学家们感到焦虑，担心他们的理论基础摇摇欲坠。因此，数学界掀起一场运动，特别是那些没有被严密的方法证实过的问题，很多都成为被关注的焦点，目的是保证充斥在学术期刊的新的研究结果不再像过去的老成果那样带有瑕疵。对严谨和形式上的过分关注大大地阻碍了数学的发展，使得应用数学，甚至包括数学物理都成为主流数学家们另眼相看的对象。将数学应用到新领域，甚至更夸张一点，用来自金融学领域的直觉推动数学领域的新发展，被认为是令人厌恶和可怕的想法。
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庞加莱的强大影响力足以保护巴施里耶的论文能够突破重重困难，但即使这样，他也被迫得出这样的结论，那就是，巴施里耶的论文与当时法国数学界的主流观点相去甚远，从而不能获得最高等级的成绩。巴施里耶的论文获得了一定级别的赞赏，但不是最优的成绩。由庞加莱主笔的答辩委员会报告，反映出庞加莱对巴施里耶所做工作的大力赞赏。庞加莱不仅称赞巴施里耶开拓了数学的新领域，同时还大大称赞了他对金融市场所表现出来的远见卓识。不过，按照当时的标准，想要给这篇数学论文最高的等级是不可能的，因为这篇论文的主题并不是在研究数学问题（在当时看来）。由于这篇论文没能获得最高等级的成绩，巴施里耶想要成为一名职业数学家的理想也随之破灭。在庞加莱的大力支持下，巴施里耶依然留在巴黎。他从巴黎大学和其他一些独立基金会获得了一些小小的资助，用以维持他简单的生活。从1909年开始，他被允许在巴黎大学讲课，但是却没有薪水。
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对巴施里耶来说，1914年是最残酷的一年，因为所有的大逆转都是在这一年发生的。在这一年的早些时候，巴黎大学董事会授权科学院院长为巴施里耶设立一个永久性的岗位。让巴施里耶梦寐以求的职位终于近在眼前了。然而，就在职位即将被最终确认的时候，命运再次让巴施里耶跌到了谷底。这一年的8月，德国军队穿过比利时，入侵法国。为了应对战争，法国在全国实行总动员。9月19日，这位引发金融学革命的44岁的数学家在没有任何征兆的情况下被征加入了法国军队。
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随机游走模型的诞生
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想象一下，阳光穿过布满灰尘的窗户照进阁楼。只要你将眼睛集中在穿透窗户射进来的光线中，你会发现无数的尘埃在光线中飞舞。看上去，它们就好像悬浮在空气中一样。如果你再仔细地观察，它们在空气中都是随机地跳动，变化着方向，一会儿向上飘，一会儿向下落。如果你能够看得更细微一些，比如，在显微镜下观察，你会发现，这些灰尘都是以粒子的状态做连续不断的随机运动。按照罗马诗人提图斯·卢克莱修（Titus Lucretius）的看法（大约是在公元前60年的时候所作的诗中表达的观点），这些看上去的随机运动表明确实存在着非常细小且看不见的微粒，从各个方向连续冲撞着这些尘埃颗粒，使得它们一会儿按照这个方向运动，一会儿又按照另外一个方向运动，他将它们称为“最原始的单位”。
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两千多年之后，为了证明原子的存在，爱因斯坦也做过类似的论述。只是他的论述比卢克莱修的描绘更贴切一些：他运用了数学分析框架来帮助他精确地描述由更小单位的微粒撞击引发的尘埃的运动轨迹。在接下来的6年时间里，在该领域，法国物理学家简-巴普蒂斯特·佩林（Jean-Baptiste Perrin）建立了一套实验分析方法来追踪悬浮在液体中的微粒运动，实验足以清楚地表明微粒确实是按照爱因斯坦所描述的方式运动的。这些实验充分地打消了那些仍然怀疑原子存在的争论。但是，遗憾的是，卢克莱修的贡献却并没有得到相应的认可。
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爱因斯坦感兴趣的微粒运动方式其实就是布朗运动（Brownian motion）的例子，布朗运动是以苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）的名字命名的。布朗是在1826年研究悬浮在水中的花粉粒时，注意到它们都是在做随机运动的。对布朗运动的数学分析通常被称为“随机游走”（random walk），有时候被更形象地称为“醉汉游走”。想象一下从坎昆（Cancun）某个酒吧出来的醉汉，敞开瓶口的防晒霜从他衣服后面的口袋里往下滴。他摇摇晃晃地往前走了几步，停了下来，下一步，他可能往这个方向走，也可能往那个方向走，选择往哪个方向走，完全是随机的。他先定了定神，朝某个方向前进了几步，然后又蹒跚地选择下一个行走的方向。这个醉汉蹒跚前进的方向完全是随机的，至少，在一定范围内，他的行走对抵达目的地没有任何帮助。如果这个醉汉走的路程足够长，最后回到了宾馆（或者他最终想要到达的地方），那么滴在路上的防晒霜可以显示他所走过的轨迹，而这个轨迹与我们看到光线中悬浮的尘埃所飞舞的轨迹如出一辙。
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