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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 内幕消息
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凯利是这样描述他的想法的：一个“有内幕消息的赌徒”可以提前知道棒球赛或者赛马的结果。这些消息或许不是百分之百可靠，但足以让下注者占尽先机。下注者能够按照正常的“公平”赔率进行下注。凯利提出的问题是，下注者应该如何使用这份内幕消息？
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这并不像你想的那么容易。举一个极端的例子。一个贪婪的赌徒可能会受内幕消息的诱惑，将他全部的资金都押注在一匹赛马上。他押注的钱越多，赢的就越多。
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采取这个策略的问题在于所收到的信息不一定准确。处于优势的赛马迟早都可能会输掉比赛。一旦内幕消息有误，那么总是赌上自己全部资金的赌徒将会输光一切。
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同样，采取相反的策略也不好。胆小的赌徒可能每次收到内幕消息后都做最小额押注。这样即使信息有误，他也不会损失太多。但是，最小额押注也就意味着盈利最小。那么，胆小的赌徒就浪费了内幕消息提供给他的巨大优势。
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赌徒应该怎么做呢？他如何能在不破产的前提下充分利用内幕消息？
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那些以此发家致富的幸运儿们是通过“连本带利赌博”（parlaying）的方式实现这一点的。他们赢了之后会把赢得的钱的一部分或者全部押注在另一匹赛马上，以此类推，这样每一次都会让财富呈指数增加。凯利的结论是赌徒应该像股票或债券投资者一样关注“累积收益”。赌徒应该用每场比赛的盈利百分比来衡量是否成功，而不是用美元来衡量。最佳策略就是能够让你在没有破产风险的前提下获得最高累积收益的策略。
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凯利后来表明香农在他的噪声信道理论中用到的数学运算同样适用于贪婪却谨慎的赌徒。正如有可能在不出现任何差错的情况下在通道中发送消息一样，赌徒也可以在不承担破产风险的前提下最大限度地累积财富。香农理论中的鱼和熊掌兼得的属性同样适用于赌博。
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凯利对赛马赌博的派利分成法[1]进行了分析。在美国以及很多亚洲赛马场，赌徒们自己设定赔率。马场将特定场次比赛的所有“获胜”赌注累加起来，扣除马场手续费和税，将剩下的钱分给押对获胜马的人。
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因此，受益取决于押在获胜马上的赌金有多少。在没有手续费的情况下最容易解释。假设有六分之一的钱押注在“聪明的琼斯”（Smarty Jones）这匹马上，然后“聪明的琼斯”最终获胜，那么每个押注这匹马的人拿到的收益都是本金的6倍。通常可以用赔率来表示：“聪明的琼斯赔率是5：1。”意思是说，如果某个人赌了10美元，那么他将获得50美元盈利+10美元本金（共60美元）。
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凯利描述了一种收到内幕消息的赌徒押注的简单方法，仅适用于马场不收手续费的情况（根本没有这样的马场）或内部消息可信度极高的情况。策略就是每场比赛都将全部资金拿来押注，根据收到的内幕消息——每匹马的获胜概率按比例分配押注金额。
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在这个系统中，你实际上对每匹参赛马都进行了押注，肯定有一匹马会获胜。那么，每场比赛中你肯定有押对的马，这样你就永远不会彻底破产。
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奇怪的是，这也是增加你财富的最快方式。大多数人觉得难以置信，因为在轮盘赌中对每个数字进行押注是不会发家致富的。
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那是因为轮盘赌中的胜率是有利于赌场的。这与我们假设的不收手续费的赛马场和拥有内幕消息的情况是不同的。看一看赌金结算公示板。张贴出来的赔率反映了所有不知道内部消息的笨蛋们的普遍看法。如果你能根据公示的赔率进行押注，那么每场比赛中你都能将赌金赢回来（依然假设马场不收手续费）。如果“海饼”（Seabiscuit）这匹马的赔率是2：1，意味着大家相信自己有三分之一的获胜机会，你将把资金的三分之一押在“海饼”上。如果它赢了，你将拿回三倍赌金，也可能是你的全部初始赌资。同样，对于其他任何一匹马皆如此，无论是你偏爱的赛马，还是从长远的角度出发选择的赛马。
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凯利的赌徒忽略了公布的赔率信息。内幕消息为其提供了更加精确的赛马取胜的概率，然后他根据对概率的仔细估算合理分配押注金。
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举个最清楚的例子。内幕消息说“战神”（Man o’War）肯定会赢。根据以往的经验，如果内幕信息从未失误过，你就能确定“战神”一定会赢，其他马获胜的概率为0。那么，你就知道怎么分配赌金了——全部押注在“战神”上。当“战神”获胜后，你就可以根据赌金结算公示板上公布的赔率获得相应的收益。显然，这是从完全正确的内幕消息中获利的最佳方法。
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凯利（和香农）的这一系统更多时候是处理不确定性问题的。在现实世界中，不存在完全确定的事情。内幕消息有时候可能会出错或者有意欺骗顾客——或者线路中存在噪音使你无法确定听清消息。也可能内幕消息为你提供的只是可能性，像天气预报一样，或者内部消息的隐含意义必须要靠你自己去理解（比如，“菲尔·莱普没吃早饭”）。
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香农的噪声信道定理中描述了一个被恰当地称为“含糊性”（equivocation）的量——对含糊性的测量。在不可靠来源（假设你选择将这种来源视为通信通道的一部分）的情况下，含糊性可能取决于发音相似的词、错别字、故意为之的模糊陈述、错误、托词，或者谎言。含糊性阐述了接收错误信息的可能性。香农表示你必须要从信道中去除含糊词，这样才能获得正确信息。
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凯利的赌徒也必须要考虑到含糊性因素。他要根据对胜率的最佳估算进行押注。当你相信“战将”（War Admiral）获胜的概率为24%的时候，你应该将24%的资金押在“战将”上。这种方法被叫作“信念下注”。
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长期来看，“信念下注”将会让你可能获得的累积收益最大化——前提是你对赔率的评估比其他人更加准确。
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你或许还在疑惑为什么不只押注在最可能获胜的赛马上，简洁地回答，就是最可能获胜的赛马也可能会输。假设你收到非常精确的通讯消息，于是相信“北地舞者”（Northern Dancer）获胜的概率为99%，你把99%的钱押在了“北地舞者”上，那么你兜里还能剩下1%的钱。
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“北地舞者”输的概率为1%。如果它输了，那么你就只剩下兜里那点钱了。你可以把留在兜里那点钱押注在其他所有赛马上，这样可能会更好地实现赌资对冲。那样你可能会获得些收益，也可能是很多收益。押在你认为会输的赛马上的钱是一份非常珍贵的“保单”。一旦罕见的灾难降临，你会为拥有一份保单而倍感欣喜。
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“信念下注”暗含一种诗意的优雅。你扮演快乐的傻瓜就好。忽略掉公示板上的赔率，根据自己对内幕信息的信念按比例对每匹马进行押注。没有比这更简单（头脑简单）的事情了，但也没有比这能让投资赚钱的方法了。
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那些思想不够诗意的人会发现在真正的赛马场上“信念下注”几乎没什么用处。美国各地的赛马场收取的手续费占赌金总额的14%～19%不等，在日本则高达25%。也就是说，任何一个每场比赛都赌上全部资金的人实际上每次都要把这笔赌资的14%～25%交给马场。要想克服这一点，除非获得非常精确的内幕消息。
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针对同一个基本体系，凯利阐述了另外一种方法，一个更加有用的版本。我列出的公式与凯利在1956年文章中列举的稍有不同。这个更容易记住，还可以应用到多种形式的赌博获利中。这就是赌徒们现在所说的“凯利公式”（Kelly Formula）。
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