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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 信念下注
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21点游戏对于索普来说已经不再像曾经那样利润丰厚又有趣了。对此，他说道：“我意识到如果我继续玩21点，那么内华达州早晚会发生不愉快的事情。”1964年，他决定将自己的才华投入有史以来最大的赌场——股票市场。
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索普通过玩21点已经积攒了25000美元积蓄，他还有15000美元存款，这些存款主要来自图书版税。1964年及1965年在新墨西哥过暑假期间，他系统地自学了市场方面的知识。他阅读了保罗·库特纳（Paul Cootner）的《股市价格的随机性质》（The Random Character of Stock Market Prices）。这本书由麻省理工出版社出版，里面收录了有关随机游走模式的重点论文。
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索普还读到一篇新闻，提到有人正在购买白银。白银供不应求的情况已经持续很长时间，而熔化和回收旧银饰和其他银器弥补了这项缺口。可回收白银储备即将告竭。
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索普用自己的积蓄以每盎司1.3美元的价格买了一些白银。价格涨至2美元左右时，他又以保证金的形式（借钱）购买了一些。后来价格下跌，索普无法追加保证金，因此损失了约6000美元，这在当时可算是损失惨重。对此他说道：“我上了昂贵的一课。这节课让我懂得你不可能通过从新闻中了解的消息而在市场中获得任何优势。”
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得克萨斯州的一些投资者与索普取得了联系。他们通过那篇关于21点的论文对索普有所耳闻。他们自称是挑选人寿保险类股票的专家，想问问索普是否能够帮助他们。索普与这些投资者在达拉斯见了面。在学习了人寿保险业的相关知识后，他非常自信地用自己的一些积蓄购买了他们推荐的公司的股票。结果，股票价格“一落千丈。”从这次经历中索普得到的唯一收获就是那两个投资者赠送给他的一套次品牛排刀具。
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回到新墨西哥州拉斯克鲁塞斯市后，索普和很多小型投资者一样开始查看财经杂志上的“快速致富”广告。广告中刊登的股票市场系统多达数百种。《巴伦周刊》（Barron）上的一则广告吸引了索普的注意力，这则广告中推荐的公司叫“RHM认股权证服务公司”。
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保罗·萨缪尔森当初订阅服务的公司还在营业。公司老板好像是个叫西德尼·弗莱德（Sidney Fried）的人，他声称在股市中以低至几美分的价格购买认股权证，然后以高达几美元的价格出售是非常可能实现的。
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索普订阅了该公司的服务。
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他说在他阅读的时候，一直在想到底是什么决定了认股权证的价格。“边想边在便签上勾画了大约1个小时，我认识到一定有一种简单的方法可以给这些认股权证定价，这一点几乎毫无疑问。”
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认股权证是当时唯一一种广泛交易的股票期权。索普最初购买的认股权证之一是由斯佩里·兰德公司发行的，这是制造出第一台大批量生产的数字电脑的公司。1958年3月17日，斯佩里·兰德公司发行认股权证，认股权证持有者可以以每股25美元的价格（执行价格）购买公司股票。认股权证到期时间为1963年9月16日，也就是说到那天交易关闭时，这项认股权证就会作废。
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那么，认股权证的公平价格是多少呢？如果斯佩里·兰德公司的股价超过每股25美元，那么认股权证就会立即升值。假设斯佩里·兰德公司以每股29美元的价格出售股票，那么认股权证的价值至少为4美元，因为你可以通过手中的认股权证享受4美元的折扣购买一股斯佩里·兰德公司的股票。
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但这并不意味着当斯佩里·兰德公司股价低于每股25美元时认股权证就毫无价值了。你可以将认股权证卖给认为在到期日之前股票价格会上涨超过执行价格的人。
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报纸会列出各认股权证的报价，就像他们列出赛马赔率一样。人们评判认股权证价格时在很大程度上是凭直觉。当你说某项认股权证值多少钱时，你实际上是根据报价，默认在认股权证到期日之前股票价格会超过执行价格。于是，你进一步猜测股价能超过执行价格多少。这是一种复杂的主观判断。认股权证定价必须要考虑到可能出现的其他情况，比如新产品发行失败或是公司需要解决法律诉讼，再或者某位高管因为要购买马蒂斯名画而抛售大量股份。蝴蝶效应可能会导致满载斯佩里·兰德公司高管的游艇沉没，导致股价受到重创。但如何能够系统预测出这类意外事件的发生呢？
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当时索普想到了随机游走模型。假设人们无法预知那些推动股价的事件的发生，那么购买股票期权就相当于对随机游走事件下注。索普知道已经有精确的方法可以计算出随机游走的概率分布，它们取决于随机运动的平均规模——在这里取决于每天股票价格的波动值（上涨或者下跌）。
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索普进行了一些计算。他发现大多数认股权证的定价都像嘉年华游戏一样。就你能够获得的利润以及获得利润的概率而言，认股权证的定价实在太高。那些权限只有几年的认股权证尤为如此。交易者们对认股权证到期之前这段时间股票价格的涨势估计太过乐观。
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在嘉年华游戏中，如果成本太高，除了拒绝下注以外，你根本无计可施。但是如果你发现认股权证定价过高，你可以选择卖空。这就扭转了本来对你不利的局势。
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卖空指的是交易者抛售自己还未拥有的证券。交易者从第三方处借来证券，然后以现行价格出售。他约定在未来某个日期将同一证券交还给第三方。交易者希望届时证券价格下跌，那么他将能够以比卖空价更低的价格购买证券还给第三方。
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卖空活动存在令人不悦的风险。当一家公司的股票价格飙升时，那么其认股权证价格也随之上涨。理论上来讲，股票或者认股权证价格的涨幅是没有上限的。那就意味着卖空交易者的损失也是没有上限的。
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相比之下，在更加常见的购买股票或认股权证（买空）的情况下，你最多就是赔掉购买证券的钱。虽然这已经够令人心痛了，但至少损失是有上限的。而卖空则有可能会遭受无限的损失。
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有一个古老的方法可以降低这种风险，那就是同时买空卖空同一商品。杰伊·古尔德购买“低价”黄金，然后到“高价”地区出售。他不必知道哪个价格“正确”，甚至不必理会这个词是否有意义。他不必预测黄金价格上涨还是下跌。通过买和卖的过程，古尔德实际上消除了持有黄金的一切风险。他牢牢锁定这种“非理性”的价格差，稳赚不赔。
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大多数套利形式都遵循了古尔德的做法。套利者购买一种低价证券，同时卖空一种与之联系紧密的高价证券。这里“联系紧密”指的是这种证券的价格波动与原始证券同步。就认股权证或者股票期权而言，“联系紧密”的证券指的是本公司的股票。
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乍听之下，这个计划似乎让人感到困惑。它有点像凯利的“信念下注”赛马系统。如果一场比赛中只有两匹赛马，那么必然有一匹马获胜，另一匹落败。由于这种明显的相关性，那么就有可能规避赌马的常规风险。如果对两匹马都下注，那么你是不会输的。
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股票期权或者认股权证的价值随着相关股票价格上涨而增加。通过购买股票并出售股票期权的方法，你就创造了一场“赛马”，交易的一方必然会赢，另一方则必然会输。如果你比其他人更了解“真正的”赔率并根据自己的认知信念调整赌注金额，你就可以期待获得收益。
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可以看出，这些买空卖空交易应用了凯利的优化原则。但实际上，早在凯利之前这种原则就已经在股市中得到应用。索普的创新之处在于精确计算出要达到抵消卖空认股权证风险的目的需要购买多少股票。这种技术现在被称为“德尔塔对冲”（delta hedging），“德尔塔”即Δ，是希腊语的第4个字母，被用来表示量的变化。
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