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丹尼尔·伯努利
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丹尼尔·伯努利来自18世纪的一个充满疯狂竞争的天才家族。发现大数定理的雅各布正是丹尼尔的伯父。雅各布教他的弟弟约翰学习数学。约翰和雅各布一样聪明，但也同样自负。伯努利兄弟俩有个非常不幸的习惯，就是总爱互相竞争研究同一个问题。他们总是发表文字严厉抨击对方。
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约翰渐渐变成了一个内心充满怨怼的人，他把这种沮丧感都发泄到自己的儿子丹尼尔（1700—1782）身上。丹尼尔既是数学家，也是物理学家。他发表了著名的法罗牌赌博分析文章，后来还发现了被应用于机翼设计方面的“伯努利效应”（Bernoulli effect）。约翰对自己儿子取得的成就并不感到高兴。当父子俩在1734年一起被授予一项法国科学院奖项时，约翰将自己的儿子丹尼尔赶出了家门。约翰抱怨称获奖的应该只是他自己，而不应该是他们两个人。1738年，丹尼尔出版了一本非常重要的著作，名为《流体力学》（Hydraulica）。第二年，他的父亲用自己的名义出版了内容几乎相同的一本书，而且虚报日期为1732年。通过这一计策，约翰可以堂而皇之地声称他儿子出版的书系剽窃。
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后来丹尼尔离开父亲，搬到了遥远的圣彼得堡，这多少应该算是一种解脱。他在那里为西化的俄罗斯法庭工作。丹尼尔写了一篇非常重要的文章，这篇文章对20世纪经济学家们接受克劳德·香农和约翰·凯利的思想具有很大的影响力。文章讲的是伯努利家族另外一名天赋异禀的成员尼古拉·伯努利设计的一次虚构的赌博，他是瑞士巴塞尔大学（University of Basel）的法学博士。尼古拉是丹尼尔的堂兄。这次赌博涉及翻倍奖金的形式，这或许会让人们想起凯利从《64000美元的问题》这档知识问答节目中获得的灵感。1783年，丹尼尔对此描述如下：
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彼得连续抛硬币，如果硬币落地时“人头”朝上，游戏结束。他同意如果第一次抛掷结果是“人头”朝上，即为成功，游戏结束，他会给保罗1达克特[1]。如果第一次未成功，继续抛掷，第二次结果如果是“人头”朝上，他就给保罗2达克特。如果第二次仍未成功，而第三次结果是“人头”朝上，他会给保罗4达克特。如果第三次仍未成功，第四次结果是“人头”朝上，就给保罗8达克特，以此类推。随着抛硬币次数的增加，他需要付给保罗的钱币将会翻番。假设我们需要计算出保罗的期望值。
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平均来看，保罗预期能够赢多少钱呢？要计算出随机事件的数学期望值，你需要用概率乘以价值。第一次抛掷出现“人头”朝上的概率为1/2，而出现这种结果保罗能够赢1达克特（相当于现在的40美元左右）。1/2乘以1达克特，最后的期望值为1/2达克特。
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这只是第一次抛掷人头朝上的情况，还有很多其他情况能够让保罗赢钱。如果第一次抛掷结果是反面朝上，彼得会接着抛。如果第二次结果是人头朝上，那么保罗能赢2达克特。赢2达克特的概率是1/4，因为必须要确保第一次抛掷结果是反面朝上（1/2概率），而且第二次结果为人头朝上（1/2概率）。那么，用概率1/4乘以2达克特，结果就是1/2达克特。
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同样，赢4达克特的概率为1/8，那么期望值还是1/2。赢8达克特的概率为1/16，赢16达克特的概率为1/32……以此类推。上述每种情况下期望值都是1/2达克特。因此，保罗预期获利总值应该是以1/2达克特为一般项的无穷级数，也就是说他的预期收益是无穷的。
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那么，通过玩这个游戏你会变得无穷富有吗？不能。如果你不信，请抛硬币试试。看看最终你到底能赢多少。
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无穷期望值对于任何在现实生活中想要用数学方法制定决策的人来说都是一个大问题。因为这个值暗示你为了能够获得玩这个游戏的权利，付多少钱都值得。如果赌场规定需要支付100万美元手续费才能玩这个游戏，那么由此看来，理性的消费者都应该会抓住机会。如果赌场收取1万亿美元手续费，情况也是如此。
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你或许更愿意把这种赌博看作是成长股的首次公开募股。人们在估算一家新公司的前景时一定会总结出多种呈现不同概率和收益率的情况。他们总会在心里计算出某个合理价格下获得的收益，然后据此购买股票。伯努利所举的例子说明在某些情况下，传统的推理能够让你找到值得购买的股票，无论价格多高。
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尼古拉和丹尼尔·伯努利都知道这很荒谬。丹尼尔写道：
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尽管标准的计算显示保罗的期望值是无穷大，但不得不承认的是，任何一个足够理智的人都会非常乐意用20达克特就把这样的机会卖掉。尽管没人愿意以高价购买，但公认的计算方法确实计算出保罗的期望值为无穷数。
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丹尼尔用拉丁文发表了上述言论。这种赌博被称为“圣彼得堡游戏”或者“圣彼得堡悖论”。从此，人们便对其产生了些许兴趣。约翰·梅纳德·凯恩斯在1921年出版的《概率论》（Treatise on Probability）一书中对这一悖论有所提及，使其成为20世纪几乎所有经济学家智力架构的组成部分。伯努利的赌博游戏也出现在了冯·诺依曼和摩根斯特恩所写的《博弈论与经济行为》一书中，在肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）、米尔顿·佛里德曼（Milton Friedman）和保罗·萨缪尔森等人的论文中也都出现过。
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解决这一悖论简直轻而易举。因为彼得根本无法获得无穷财富来兑现游戏的潜在支出。没人可以拥有无穷财富。因此，无穷级数的大多数条件是无法满足的。获得10000004美元奖金的概率是极其微小的，根本不值得你去计算。而且根本没有实际意义，因为没人能够拥有这么多钱兑现给别人。
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假设一家赌场为顾客提供了玩这个游戏的机会并设定最大盈利为10亿美元，那么这场游戏价值几何呢？少得多！假设奖金起始数额为1美元，那么正常来看，第31次抛掷结果为人头朝上的奖金是1073741824美元。对于赌场来说，最合理的做法就是将游戏限定在30次抛掷内，然后将这10亿美元奖励给30次抛掷结果皆为反面朝上的人。那么这个删减版的游戏期望值仅为15.93美元。
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这要合理得多。游戏本身的价值并没有达到无穷大，而只是几美元而已。这种解惑方式正是冷静的现实主义者寻求的答案。但是哲学家和数学家们，甚至经济学家们，很少能够接受这样一种解决方式。他们大多数人都认为我们可以假装彼得拥有无穷财富，那么如果我们说保罗为了玩这个游戏愿意付出任何代价岂不仍然很可笑吗？
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丹尼尔·伯努利的看法正是如此。他提出了一个不同的解决方式，对未来的经济学思想产生了深远影响。伯努利将金钱和人们赋予金钱的价值加以区分。对于一个亿万富翁来说，1000美元只是零钱而已。对于一个饥饿的乞丐，1000美元可是一大笔财富。经济获益（或者损失）的价值取决于受其影响的人的财富。
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你或许会告诉自己说你已经了解了这一点。那么好吧，伯努利的真正贡献就是创造了一个新词。这个词被翻译成英语“utility”（效用），描述的是人们赋予金钱的主观价值。伯努利认为人们根据本能采取行动以最大限度获得效用——不一定是最多钱（美元或是达克特）。伯努利指出：“物品的价值绝不能建立在其价格基础上，而必须建立在其产生的效用基础上。物品的价格只取决于物品本身，而且对任何人来说都一样；然而，效用取决于做出评估的人所处的特定环境。”
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1美元的价值对于富人来说比穷人低多少呢？诚恳的答案是“不一定”。对此伯努利举了一个例子，据他描述，如果一个被囚禁的富人还差2000达克特才能获得自由，那么这个富人赋予这2000达克特的价值比没有如此迫切需求的穷人赋予的价值要高得多。
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这就是一种人为的困境。大多数时候，一个富人赋予2000达克特收益的价值比穷人要低。伯努利提出了一个概测法。他写道：“在不存在特例的情况下，任何微小的财富增长所产生的效用都将与此前拥有的物品数量成反比。”
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换句话说就是，如果你的朋友拥有的财富是你的2倍，那么在赢了100美元赌注后他高兴的程度将只是你赢得相同赌注时高兴程度的一半。当然，付账时的难过程度也是你的一半。
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可以绘制效用与财富的对比图（见图4-1）。如果人们赋予金钱的价值与他们的财富值成正比，那么图中将会出现一条直线。而根据伯努利提出的概测法，这条线是一条曲线。这就反映出一个事实，即一大笔金钱收益才会对富人造成一定的影响，而要产生相同的影响力，穷人只需要一小笔即可。曲线的形状（以及伯努利提出的金钱收益与既有财富成反比的法则）描述的是一个对数函数。伯努利的概测法因此被称作“对数效用”。
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伯努利用效用来解决圣彼得堡悖论的问题。假设保罗赋予收益的价值与其财富成反比，那就是说保罗赋予2达克特收益的价值并不是1达克特收益价值的2倍。你赚到第二个1达克特，就像你赚到第二个100万一样，感受绝对和第一次不一样。
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这就意味着无穷级数的条件要向下调整来解释获得巨大收益时收益价值递减的情况。尽管数列仍是无穷的，但却变成了一个规范化的、合并的无穷数列。你可以计算1/2+1/4+1/8+1/16……的结果，尽管数列无穷尽，总和却永远无法达到1。当伯努利的期望值数列也进行如此调整后，最终也会合并成为一个有限的、适当的总和。
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