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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535703]
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预见相关性：风险管理新范例 2.2 Copulas
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这些相关系数的测度能用于任何联合密度函数，只要相关的矩存在。这适用于当金融计划工具需要相关系数的时候。对于一些其他问题，也许其他衡量相关关系的方法会更好，并且也许会出现这样的情况，就是对于一些联合密度，我们能找到比仅仅是样本相关系数更有效的估计量。
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在多变量背景下，基本的衡量变量相关性的方法是利用联合密度函数。累积分布函数（cdf）定义为
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式中大写的YS是随机变量，小写的yS是一组实数。从这个累积分布函数中，我们可以得到一元累积分布函数
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对于任意的y，每个累积分布函数的值位于0和1之间。特别地，我们能够将Yi的第t个观测值纳入累积分布函数中，并且将结果定义为
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Rosenblatt（1952）首次提出这个定义，最近Diebold等人（1998，1999）大量使用了这个定义。只要初始的随机变量是连续的，对于每个i，这些随机变量Uit的分布是相同的。也就是说，这些Us的边际分布是相同的。对于一个随机变量来说，这个变量进行任意的线性或者非线性单调变换，不会改变式（2-6）中这些Uis的结果。
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尽管这些Us的边际分布相同，但它们并不独立。所以式（2-4）中的相关结构保留下来。例如，一个变量的最极端值的出现经常与另一个变量的最极端值的出现一致，这暗示着尾部存在重要的相关性。这些Us的联合分布称作Copula，表达式为
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式中的倒数表示反函数。也就是
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如果边际分布函数都是连续和严格单调的，那么反函数是定义良好的并且Copula对所有位于单位立方体上的值也是定义良好的。如果上述条件不满足，那么式（2-7）中的Copula也许不是唯一的。同样的，Copula和边际分布函数决定了联合分布函数。通过将式（2-8）代入式（2-7）可以容易解释这个结果：
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这个结果被称作Sklar’s定理（参阅Sklar（1959）和McNeil等人（2005）），它提供了Copula的存在性和唯一性的一般性描述。
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Copula在金融中起着非常重要的作用。它概括了数据的相关特征并且给出了多个资产同时处于特别低或特别高的值的概率。对于风险管理，这是一个很关键的问题。从经验上讲，一定会出现许多股票收益率同时位于其极端分位数上这种情况。例如，许多股票序列曾经有过表现最差的日子——1987年10月19日。对于信用风险问题，一个类似的情况也会出现。公司一般会在当其股票价值跌到极端水平的时候违约。因此，Copula可以预示多家公司的股票价值同时跌落到极端分位点的可能性。
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两个最普遍使用的Copula是独立Copula和高斯Copula。独立Copula可以简单表示为
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其中没有与这个函数相联系的参数。另一方面，高斯Copula依赖于相关矩阵。设φR表示相关矩阵为R的多元正态累积分布函数，其中均值为0，标准差为1。类似地，设φ是一个一元标准正态分布的累积分布函数，那么高斯Copula表示为
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