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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535704]
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预见相关性：风险管理新范例 2.3 相关性的测度
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现在可以对一般的多元密度函数定义相关性测度方法。如上所述，相关系数是对线性相关的一个测度，并且对于非线性转换会发生变化。找到下面这样的一些转换并非难事，这些转换使得一个随机变量和它的转换之间是线性无关的，即使它们之间存在完全的依赖关系。一个简单的例子是，一个对称的0均值随机变量和它的平方之间是不存在线性相关的。既然一个随机变量集的依赖关系由Copula来测度，那么自然有一些测度值不随边际分布而变化。对于数据的非线性单调变换，任何这样的测度值都将是不变的。
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很明显简单皮尔森相关系数不是这样一个测度值。它不仅由Copula唯一决定而且还取决于边际密度函数。但是，可以用上面讨论过的meta-高斯分布来构造一个不变的测度值。这种情况下，准相关系数定义为准观测值的皮尔森相关系数。准观测值的构造首先需要知道边际分布，然后利用这个边际分布来获得这个分布中的一致随机变量，最后通过乘以标准正态分布的反函数将其转换成正态分布变量。这样的准相关系数对于初始数据的非线性转换是不变的，并且由Copula唯一决定。这种测度方法可以表示为
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这个测度值被称作准相关系数，因为它不是初始数据的相关系数而是数据转换后的相关系数。对边际密度的一个一般设想要使用到经验分布函数，这意味着标准化的排列先被看作统一的随机变量U，然后被转换成一组标准正态变量。
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一个紧密相关的测度值是等级相关系数或者斯皮尔曼相关系数。这被定义为分位数或所有U的简单相关系数。由于输入值不随边际密度函数的改变而改变，并且不随数据的单调变换而变化，所以等级相关系数是
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这两个测度值一般是不相同的，但非常接近。如果Copula是高斯Copula，那么它们可能会有相同的期望。如果Copula不是高斯Copula，那么会存在一些设定，这些设定中的估计量有相当大不同。举个例子，如果Copula关于两个变量有相当大的概率接近0或者1，那么准正态分布会有接近±∞的观测值并且会导致有比等级相关系数更高的准相关系数。
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另一个普遍使用的测度相关性的方法是Kendall’s tau。为了定义这个测度方法，我们考虑两个随机变量的两个观测值：（y1，x1）和（y2，x2）。如果y1>y2且x1>x2或者y1
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τ=P（concordant）-P（not concordant）
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=2P（concordant）-1 （2-20）
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很明显这个测度值不会随着数据的单调转换而变化，并且它能从Copula直接计算得到。
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所有这三种衡量方法——准相关方法，等级相关系数法和Kendall’s tau方法——都是对相关关系的非参数测度方法，因此，它们对所假设的分布和异常值来说都是稳健的。每个测度方法都描述了关于结果的全部范围的相关关系。
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其他的一些测度方法考虑了关于极端值的依赖特征。一个关于极端值依赖性的测度方法是尾部相关性方法。这是一种测度联合极端值的方法。对于任何特别的分位数α，我们能够定义在另一个随机变量超过这个分位点的条件下，一个随机变量超过这个分位点的概率。通过变换下面的不等式（2-21），一个类似的定义可以用于上分位数
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低尾相关性（Lower tail dependence）被定义为分位数趋于0的概率极限：
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上尾相关性（upper tail dependence）是当分位数趋于1的概率极限。这是一种仅仅取决于分位数的测度方法，所以它是Copula的一个特征。
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对风险管理来讲，测度低尾相关性是特别重要的。由于它是最重要的极端风险，所以有必要用一个Copula来准确地刻画多重资产同时出现极小收益率的概率特征。简单相关系数不能准确揭示出尾部相关性。一个非常重要的例子是高斯Copula。对于这样的联合密度函数，尾部相关性总是0，与其相关结构无关，因为极端事件总是没有关联。多元正态分布函数意味着极端风险能够被相当容易地分散。然而对于资产收益率的尾部行为表现，它不是一个好的描述。
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尾部相关性对多重资产信用衍生工具定价和测度资产组合信贷风险来说也是非常重要的。如果违约是相关的，那么多重可违约债券的资产组合的风险会增加。在一个多样化的投资组合中，一个违约并不严重，但是许多违约将会带来灾难性的后果。当一个公司的重要的股票价值成为非常小的时候，公司会对债务违约，因为股票持有者只在债权人得到支付后才能得到价值。因此，一个公司违约的概率能解释为股票价格跌到一个低价格的概率。违约的概率因此能重新表述为股票价格跌到某个违约临界值的概率。举个例子，如果知道一年内的违约概率是1%，那么年末股票分布的1%分位点能作为违约边界。违约事件则是股票价格跌落到低于这个分位点。尽管这个事件发生的概率也许是已知的，但是这些事件的联合分布对信贷风险的模型来说是主要的。把违约事件间的相关性和股票价格联合分布的尾部相关性联系起来是直截了当的。
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假设违约边界值由两个公司的违约概率α隐含定义，那么这两个指示变量间的相关性就是违约相关性：
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