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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535727]
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预见相关性：风险管理新范例 第8章 因子DCC模型
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8.1 DCC模型的因子形式
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为了对大量的资产收益进行建模，专业人员总是会求助于因子模型。这是一个较自然的过程，因为投资者们力图能发现影响大量资产收益率的少数重要因素。夏普（1964）的资本资产定价模型（CAPM）是一个关于所有资产收益的单因子模型。由于这个模型传达了一个关于金融资产的定价和对冲的强有力理论，所以它是多数金融决策的一个基本模型。Ross（1976）将其扩展为套利定价理论（APT）。迄今为止，这些奠基性的理论框架已经成为大多数资产定价模型的主要部分。
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这些模型结构在协方差矩阵的建模方面影响较小。困难是因为许多因子也许都是必要的，并且联系因子与收益的一些b值难于准确估计而且长期内不可能不变。所以有必要用时间序列分析的方法来体现因子结构的优点，而不需要这么认真考虑因子的数量和测度。通常有两类因子模型：一类模型包含可观测的因子，另一类模型包含不可观测的因子。在第一种情况下，研究者先设定一些因子，然后试图用这些因子来估计收益率的协方差矩阵。在第二种情况下，研究者必须先从数据来了解或获得因子，然后构建一个包含这个信息的模型。两种情况下的目的都是找到预测模型来预测未来一个或多个时期的协方差矩阵。这种预测方法一般需要先预测因子的分布，然后利用预测的分布来预测收益率的协方差矩阵。在分析中，因子的作用一般是为了给出一个关于相关结构矩阵的简洁表达式，同时，这个相关结构矩阵确保是正定的。下面将要介绍的因子DCC模型既包含可观测因子，也包含不可观测因子。不可观测因子被认为只是暂时对解释动态相关系数重要。
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首先考虑非常简单的静态单因子模型，这个模型是CAPM的中心部分。当测度了超过无风险利率的收益率，并且我们设γm是市场收益率，那么这个模型最简单的表达式为
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从理论上讲，我们预期在一个有效市场中所有的αs都是0。并且我们预期资产间的异质性收益率（idiosyncratic returns）是不相关的，即
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因此，两个资产间的相关系数能表示为
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这些表达式确保相关矩阵是正定的，但是它们没有提供关于随时间变化的方差、协方差或者相关系数的测度值。
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用公式来表示这个因子模型的一个动态形式最简单的方法是遵循Engle等（1990b）和Ng等（1992）的方法。这种情况下，因子具有时变波动性并且能被模型化为ARCH模型的某种形式。因此，表达式（8-2）和式（8-3）能重写成条件协方差的形式。条件相关系数则成为
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Engle等人使用的模型假定异质波动性不随时间变化。他们将这个模型称作因子ARCH模型，并且这里就用这个名称。设β和r是n×1向量，则统计表达式为
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因为市场波动在变化，所以每对资产间的条件相关系数将随时间变化。对式（8-5）的考察可以清楚看出：当市场波动性取值从0到无穷大，这个模型中的条件相关系数是市场波动性的一个单调函数，其取值从0到1。
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式（8-5）中收益率和因子的条件协方差矩阵的表达式暗含假定了矩阵是非奇异的。然而，在许多情况下市场收益率是单个资产收益率的一个明确的线性组合。由于这个线性组合中的权重是随时间变化的，所以众所周知，像这种情况，模型在逻辑上有些不一致。当然，如果指标中只有收益率的一个子集被模型化，那么不再有一个被忽视的约束而且模型在逻辑上是一致的。我们将假定情况就是这样，尽管实际上对于相关系数估计问题，奇异性的重要性很小。
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在因子ARCH模型中，总是会存在没有ARCH项的资产投资组合。利用Engle和Kozicki（1993）的共同特征（common-features）方法，Engle和Susmel（1993）寻找了这些投资组合并且发现它们不可能存在于一个国际背景下。几乎所有的投资组合具有随时间变化的波动性，即使在市场中它们具有一个0的b值。因此，一定存在更多的因子或者随时间变化的异质波动性。
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假定误差服从正态分布，则统计模型为
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这个模型的最大似然法（MLE）无非是利用普通最小二乘法（OLS）将各个资产收益率对市场收益率进行回归，并且是一个市场波动GARCH模型的MLE。这对于系统估计来说没有益处。
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这个模型的一个自然扩展是允许异质性以及市场收益率服从一个GARCH过程。一个资产有两个GARCH过程。为了方便我们称这个模型为因子双重ARCH模型。这个模型可以表示为