1703562621
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562342]
1703562622
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 布莱克–斯科尔斯–默顿模型
1703562623
1703562624
这里我们会对布莱克–斯科尔斯–默顿（BSM）模型进行分析。对期权交易员而言，BSM模型就是他们思考的概念框架，就像我们用母语思考一样，经验丰富的衍生品交易员都是用BSM语言来思考的。交易员所使用的模型与诸如物理学等硬科学上所使用的模型有很大的区别。物理学中的模型是用来描述现实世界的，模型至少在某种程度上是正确的，然后才用来预测。不同模型之间的正确度并不需要一致。一些成功的理论实际上是基于高度简化的唯象模型。卢瑟福的原子模型就是一个著名的例子，该模型假设电子沿轨道绕原子核旋转，就像行星沿轨道绕太阳运行一样，但行星模型并不是原子结构的精确描述。
1703562625
1703562626
交易模型是完全不同的。从对现实世界的精确表述来看，BSM模型并不好，因为它相对于现实有很大的差距，模型中的大多数假设都过分简化了。说它是一个好模型，则是因为我们对它的这些缺点都已经很好地了解了，并且它给出的结论从直觉上来看也是合理的。这就足够了，它已经够用了。继续讨论这个模型是正确的还是错误的，就像说德语是错误的，而法语是正确的一样毫无意义。
1703562627
1703562628
BSM公式的标准推导过程在许多书中都能找到（例如，Hull，2005）。详细的推导过程虽然能够让我们清楚地了解模型中的数学细节和所采用的金融学假设，但它通常无法明确告诉我们作为一个交易员应该怎么做。交易员的目的是识别被错误定价的期权并且从中盈利。我们必须牢记这一点。那么BSM公式是怎么帮助我们实现这一目标的呢？
1703562629
1703562630
反过来思考这个问题。首先我们假设交易员持有一个delta中性组合，它是由1份看涨期权和delta份股票空头所组成的。接下来我们将应用有关期权动态变化的知识来推导BSM公式。
1703562631
1703562632
该组合是delta中性的，对期权交易员而言，这一特征显而易见。事实上，早在BSM模型出现之前，交易员们就认识到了delta对冲的概念（关于这一段有趣的历史，可以参考Haug，2007a）。不过即使是第一次接触该概念的读者，也可以很容易理解这一点。随着合约标的价格上涨，看涨（看跌）期权的价值会增加（下降）。因此，原则上我们可以用一定比例的合约标的来抵消期权的这种方向性风险。认识到这一点很容易，但具体应该用多少数量的合约标的，这个问题就不是那么简单了。
1703562633
1703562634
在对合约标的的收益率所服从的分布做出任何假设之前，我们可以先列出期权的一些必然具备的属性。这些属性很容易就可以在金融市场中被观察到。
1703562635
1703562636
·当合约标的价格上涨（下跌）时，看涨（看跌）期权变得更有价值。因为此时期权成为实值期权的可能性也越高。
1703562637
1703562638
·看涨（看跌）期权的价值永远都不会比合约标的的价格（行权价格）更高。
1703562639
1703562640
·随着时间流逝，期权价值将下降。这是因为期权变为实值期权的时间减少了。
1703562641
1703562642
·期权价值必然与不确定性正相关。如果合约标的没有风险，那人们也就没有必要花钱购买某个在特定状态下才会有价值的产品。期权之所以有价值，是因为未来的不确定性。因此，不确定性越强，期权的价值也就越高。
1703562643
1703562644
·随着利率上升，期权的价值会下降。这是由于我们需要融资来买入期权，当利率上升，我们的融资成本也随之上升（此时我们没有考虑利率变化对合约标的价格的影响）。
1703562645
1703562646
·股息发放（以及储存或融券成本）对看涨和看跌期权有不同的影响。期权持有人不能收到股息。这意味着从期权定价的角度来看，股息发放会降低标的股票的有效价格。因此股息发放会增加看跌期权的价值，降低看涨期权的价值。
1703562647
1703562648
我们在前文已经提到，即便在BSM公式问世之前，期权交易员就已经意识到，通过持有期权和合约标的的组合能够降低方向性风险。那么让我们先假设持有一个delta中性组合，其价值为：
1703562649
1703562650
1703562651
1703562652
1703562653
其中，C是期权的价值，St是时刻t合约标的的价格，Δ是我们持有的股票空头的数量。在下一个时刻，合约标的的价格变成St+1。投资组合的价值变化由期权和股票头寸的价值变化，以及为了构建这个组合而产生的融资成本所构成。因此组合的价值变化为：
1703562654
1703562655
1703562656
1703562657
1703562658
最后一项之所以为正，是因为需要考虑我们的现金流。我们买入期权，因此我们需要为该成本融资。但我们卖空了股票，因此我们可以由此收到现金。经过单位时间间隔，我们会由此收到rΔSt的利息。
1703562659
1703562660
另外要注意的是，由于假设时间间隔足够小，因此我们可以认为delta在此期间内没有发生变化。
1703562661
1703562662
合约标的价格变化所导致的期权价格变化可以通过二阶泰勒展开公式来近似。另外我们知道，当“其他因素不变”时，由于时间流逝而导致的期权价值变化可以用θ来表示。
1703562663
1703562664
在我们的证明中，我们假设需要考虑价格的二阶导数，但对于时间则只需考虑其一阶导数。为什么这样的选择是有效的呢？忽略价格的更高阶导数事实上并不合适。我们之所以这样做，是为了得到BSM公式。在更正式的推导中会说明，这与合约标的收益率的正态分布假设有关。这是我不可忽略的主要的简化。我会在稍后进一步讨论这个问题。关于我们只需要更少的关于时间的导数的假设，则更容易理解。合约标的价格变化是随机的，因此这是一个风险来源。而时间变化是可预期的，因此时间流逝对期权的影响则仅仅是一种成本。
1703562665
1703562666
因此可以得到公式：
1703562667
1703562668
1703562669
1703562670