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博弈论基础 [:1704417404]
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2.2.D 工作竞赛
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考虑为同一老板工作的两个工人，工人i（其中i等于1或2）生产的产出yi=ei+εi，其中ei是努力程度，εi是随机扰动项。生产的程序如下：第一，两个工人同时选择非负的努力水平ei≥0；第二，随机扰动项ε1和ε2相互独立，并服从期望值为0、密度函数为f（ε）的概率分布；第三，工人的产出可以观测，但各自选择的努力水平无法观测，从而工人的工资可以决定于各人的产出，却无法（直接）取决于其努力水平。
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假设老板为激励工人努力工作，而在他们中间开展工作竞赛，参见拉齐尔和罗森（1981）首先建立的分析模型[10]。工作竞赛的优胜者（即产出水平较高的工人）获得的工资为wH；失败者的工资为wL。工人获得工资水平w并付出努力程度e时的收益为u（w，e）=w-g（e），其中g（e）表示努力工作带来的负效用，是递增的凸函数（即g’（e）＞0且g”（e）＞0）。老板的收益为y1+y2-wH-wL。
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现在我们套用对第2.2.A节博弈类型的讨论思路来分析这一应用。老板为参与者1，他的行动a1是选择工作竞赛中的工资水平wH和wL，这里不存在参与者2。两个工人是参与者3和4，他们观测第一阶段选定的工资水平，然后同时选择行动a3和a4，具体地说就是选定的努力程度e1和e2。（后面我们将考虑另一种可能性，就是对老板选定的工资水平，工人们不愿意参与工作竞赛，却转而寻找另外的工作机会）最后，参与者各自的收益如前面所给出。由于产出（并由此而使工资）不只是参与者行动的函数，而且同时还受随机扰动因素ε1和ε2的影响，我们用参与者的期望收益进行分析。
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假定老板已选定了工资水平wH和wL，如果一对努力水平是第二阶段两工人博弈的纳什均衡，则对每个i，必须使工人的期望工资减去努力带来的负效用后的净收益最大，亦即必须满足：[11]
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其中yi（ei）=ei+εi。（2.2.4）的一阶条件为
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也就是说，工人i选择努力程度ei，从而使得额外努力的边际负效用g’（ei），等于增加努力的边际收益，后者又等于对优胜者的奖励工资切wH-wL，乘以因努力程度提高而使获胜概率的增加。
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根据贝叶斯法则[12]
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于是，一阶条件（2.2.5）可化为
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在对称的纳什均衡（即），我们有
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由于g（e）是凸函数，优胜获得的奖励越高（即wH-wL的值越大），就会激发更大的努力，这和我们的直觉是一致的。另一方面，在同样的奖励水平下，对产出的随机扰动因素越大，越不值得努力工作，因为这时工作竞赛的最终结果在很大程度上是决定于运气，而非努力程度。例如，当ε服从方差为σ2的正态分布时，则有
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它随σ的增加而下降，也就是说e*的确随σ的增加而降低。
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下面我们从后往前分析博弈的第一阶段。假定工人们同意参加工作竞赛（而不是去另谋高就），他们对给定的wH和wL的反应，将会是（2.2.6）描述的对称的纳什均衡战略。（从而我们忽略掉存在不对称均衡的可能性，以及工人的努力程度由角解e1=e2=0而不是由一阶条件（2.2.5）给出的可能性）同时假定工人可寻求其他就业机会，得到的效用为Ua。因为在对称的纳什均衡中每个工人在竞赛中获得优胜的概率为1/2（即）Prob{yi（e*）＞yi（e*）}=1/2），如果老板要使工人有动力参加工作竞赛，则他必须选择满足下式的工资水平
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