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博弈论基础 [:1704417416]
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第2.1节
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2.1 本题取自首先由贝克尔（Becker，1974）提出并分析的一个模型。假设一个家长和他的孩子进行如下的博弈：第一，小孩选择一个行动A，可使孩子获得收入Ic（A），并使家长得到收入Ip（A）（可以认为Ic（A）为孩子减去因A发生的各种成本后的净收益）；第二，家长观测到收入Ic和Ip，然后选择给孩子的奖励或惩罚B。孩子的收益为U（Ic+B）家长的收益为V（Ip-B）+k（Ic+B），其中k＞0反映出家长关心孩子的福利。假定行动是一个非负数字，A≥0，收入函数Ic（A）和IP（A）为严格凹且分别在Ac＞0和Ap＞0达到最大值；奖励或惩罚B为或正或负的数字；且效用函数U和V递增并严格凹。证明“宠坏的孩子”（Rotten Kid）定理：在逆向归纳解中，孩子选择可使全家收入Ic（A）+Ip（A）最大化的行为，尽管在效用函数中，只有家长显示出利他的特点。
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2.2 现在假设家长和孩子进行一个不同的博弈，首先由布坎南（Buchanan，1975）所分析。令收入Ic和Ip为外生给定的，第一，孩子决定收入Ic中的多少用于储蓄（S）以备将来，并消费掉其余部分Ic-S。第二，家长观测到孩子的选择S并决定一个赠与额B。孩子的收益为当期和未来的效用之和U1（Ic-S）+U2（S+B）；家长的收益为V（Ip-B）+[U1（Ic-S）+U2（S+B）]。假定效用函数U1、U2和V递增并且严格凹，证明存在“乐善好施俘论”（Samaritan’s Dilemma）：在逆向归纳解中，孩子的储蓄非常少，从而可诱使家长给予更高的赠与（即如果S增加，并使B相应减少，家长和孩子的福利都会提高）。
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2.3 假定鲁宾斯坦的无限期讨价还价博弈中，参与者的贴现因子不同，参与者1为δ2，参与者2为δ2。运用本书中的论证方法证明在逆向归纳解中，参与者1向2提出的解决方案为
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并被参与者2接受。
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2.4 两合伙人希望能完成一个项目，在项目结束时，每一合伙人得到收益V，但结束前则一无所得，尚需R的成本。两合伙人都不能承诺只靠自己的力量完成项目，于是他们决定进行如下的两阶段博弈：在第一阶段，合伙人1选择为完成项目所作的贡献c1，如果这一贡献足以令项目完成，则博弈结束，每一参与者得到收益V；如果这一贡献不足以令项目完成（即c1＜R）则在第二阶段合伙人2选择为完成项目所作的贡献c2，如果（不考虑贴现的）两个贡献之和足以完成项目，则博弈结束，每一参与者得到V；如果贡献之和不足以完成项目，则博弈结束，两参与者所得的收益均为0。
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每一合伙人必须从其他可带来收益的活动中抽取部分资金，投入到该项目，这样做的最优方法是先从收益最低的其他活动中抽资，结果使贡献的（机会）成本为贡献大小的凸函数。假设对每一参与者贡献c的成本为c2，并假定参与者1对其第二阶段的收益用贴现因子δ进行贴现。针对三个参数{V，R，δ}的不同情况，分别计算出此两阶段贡献博弈惟一的逆向归纳解；参见阿德马蒂（Admati）和佩里（Perry）对无限重复情况的讨论。
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2.5 假设一家企业希望某工人能投资于企业专门技术S，但此项技术非常模糊，以致法院无法确定工人是否已经掌握。（例如，企业也许会让职工“熟悉我们这儿是如何运作的”或“在我们的某潜在市场成为专家”。）从而企业无法与职工订立契约，偿付工人投资成本：即使职工确实进行了投资，企业也可以声称职工没有进行投资，并且法院无法辨别哪一方是正确的。类似的，如果企业预先支付费用，职工也不能保证会投资于企业的专门技术。
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但是，企业能够通过（可信的）承诺提职来激励职工进行投资，具体方法如下。假设企业里有两个工作岗位，一个容易（E），一个复杂（D），并且专门技术对这两个岗位都是有用的，只是对复杂的岗位作用更大一些yD0＜yE0＜yES＜yDS：，其中yij表示职工在岗位i（i=E或D）工作、技术水平为j（j=0或S）时的产出，假定企业可以承诺对不同的岗位支付不同的工资wE及wD，但每一种工资都不低于工人另谋职业的收入，这里我们通过标准化处理，使后者等于0。
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博弈进行的时间顺序如下：在时点0企业选定wE和wD，工人观测到企业选择的工资水平。在时点1工人加入企业并且能够以成本c取得技能S（这里我们忽略了第一阶段的产出及工资，由于工人尚未取得技能，企业聘用工人到岗位E是有效率的）。假定yDS-yE0＞c从而对工人来讲投资学习技术是有效率的。在时点2企业观测工人是否取得了技术技能，然后决定是否在工人雇佣的第二（也是最后）阶段提升工人到岗位D。
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工人在岗位i工作，技术水平为j时，企业第二阶段的利润为yij-wi。工人第二阶段在岗位i工作的收益为wi或wi-c，决定于工人是否在第一阶段投资于工作技能。请求出博弈的逆向归纳解。参见普伦德加斯特（Prendergast，1992）内容更为丰富的模型。
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博弈论基础 [:1704417417]
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第2.2节
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2.6 在一个由三个寡头垄断者操纵的市场，反需求函数由P（Q）=a-Q给出，这里Q=q1+q2+q3，qi表示企业i生产的产量。每一企业生产的边际成本为常数c，并且没有固定成本。企业按以下顺序进行产出决策：（1）企业1选择q1≥0；（2）企业2和3观测到q1，并同时分别选择q2和q3。求出此博弈的子博弈精炼解。
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2.7 假设一个工会是一寡头垄断市场中所有企业惟一的劳动力供给者，就像汽车工人联合会（United Auto Workers）对于通用、福特、克莱斯勒等大的汽车厂家。令博弈各方行动的时间顺序类似于第2.1.C节的模型：（1）工会确定单一的工资要求w，适用于所有的企业；（2）每家企业i了解到（并接受）w，然后同时分别选择各自的雇佣水平Li；（3）工会的收益为（w-wa）L其中wa为工会成员到另外行业谋职可取得的收入，L=L1+…+Ln为工会在本行业企业的总就业水平；企业i的利润为π（w，Li），其中决定企业i利润水平的要素如下。
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所有企业都有同样的生产函数：产出等于劳动力；qi=Li。市场总产出为Q=q1+…+qn时的市场出清价格为p（Q）=a-Q。为使问题简化，假设企业除工资支出外没有另外的成本。请求出此博弈的子博弈精炼解。在子博弈精炼解中，企业的数量是如何（以及为什么）影响工会效用的？
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2.8 根据拉齐尔（1989），对第2.2.D节的工作竞赛模型修改如下：令工人i的产出为yi=ei-（1/2）sj+εi，其中sj≥0代表了工人的故意破坏；并且工人i由于（生产及破坏）付出努力产生的负效用为g（ei）+g（si）证明最优的奖励水平wH-wL要小于（书中）不考虑进行破坏的情况。
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2.9 考虑两个国家，在时点1，两国的关税都非常高，以致根本没有贸易。在每一个国家内，工资和就业的决定与第2.1.C节垄断工会模型相同。在时点2，所有的关税都取消了，每一工会决定本国的工资水平，但每一企业同时为两国市场生产产品。
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假定每一国家的反需求函数为P（Q）=a-Q，其中Q为该国市场上的总产量。令每一企业的生产函数为q=L，从而工资为企业的惟一成本，并且令工会的效用函数为U（w，L）=（w-w0）L，其中w0为工人另谋职业可得收入。请解出时点1博弈的逆向归纳解。
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下面考虑时点2的下述博弈。第一，两工会同时选择工资水平w1和w2，然后企业i观测到工资并选择其国内、国外市场的产出水平，i国企业的产出（内销和出口）分别用hi和ei表示。企业i所有的生产都在本国，于是总成本为wi（hi+ei）解出子博弈精炼解。证明工资、就业和利润（并且由此决定的工会效用和消费者剩余）在关税取消后都提高了。参见Huizin-ga（1989）同类问题的其他例子。
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博弈论基础 [:1704417418]
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第2.3节
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2.10 下图所示的同时行动博弈重复进行两次，并且第二阶段开始前双方均可观测到第一阶段的结果，不考虑贴现因素。变量x大于4，因而（4，4）在一次性博弈中并不是一个均衡收益。对什么样的x，（双方参与者同时采取）下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡？
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第一阶段选择Qi，如果第一阶段的结果为（Q1，Q2），在第二阶段选择Pi；如果第一阶段的结果为（y，Q2），其中y≠Q1，第二阶段选择Ri；如果第一阶段的结果为（Q1，z），其中z≠Q2第二阶段选择Si；如果第一阶段结果为（y，z），其中y≠Q1且z≠Q2，则在第二阶段选择Pi。
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