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演化与博弈论 [:1704421382]
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十、具有循环动态的非对称博弈
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考虑这样一个非对称博弈，其中每个角色都具有两个可选的纯策略。博弈的支付矩阵如表35所示。假设只存在纯策略者。令它们的频率为P（A）＝X以及P（R）＝Y，那么纯策略的适应度如下所示：
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W（A）＝aY＋c（1－Y），V（R）＝rX＋t（1－X）．
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表35 两个纯策略的非对称竞争的支付矩阵
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W（B）＝bY＋d（1－Y），V（S）＝sX＋u（1－X）．
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平均适应度为：
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W＝XW（A）＋（1－X）W（B）；V＝YV（R）＋（1－Y）V（S）．
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推导的过程如附录四所示，关于X和Y的微分方程如下所示：
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基于第135页所描述的Dawkins（1976）的“性别战争”，Schuster和Sigmund（1981）研究了这个问题。然而，与方程（J. 1）不同，他们采用的微分方程是
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dX/dt＝X［W（A）－］；dY/dt＝Y［V（R）－］ （J. 2）
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在附录四中，我们曾经讨论过，在对称竞争中用（J. 2）形式的方程来替代（J. 1）形式的方程是合理的，这是因为这一变换并没有改变微分方程的不动点和轨线。但是，在非对称竞争中，这一点不再正确，这是因为≠。于是对于上述微分方程哪一个形式更为恰当的问题尚有考虑的余地，我们将依次考虑这两种形式。
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令人感兴趣的情形是存在一个内部的不动点以及具有周期性循环的行为，这种情况在r＞s，b＞a，u＞t以及c＞d（或者所有这些不等号反向）的时候就会产生。从定性的角度看，如果考虑的是一个具有简单数值的例子，那么不会影响结论，其中r＝b＝u＝c＝2并且s＝a＝t＝d＝1。根据对称性，方程的不动点是X＝0.5，Y＝0.5。设X＝0.5＋x，并设Y＝0.5＋y，方程组（J. 2）变成：
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如果我们忽略x2和y2两项，那么方程（J. 3）描述的是简单的谐波运动（harmonic motion）。该完备方程组也描述了一个保守系统（conservative system），这是因为H＝x2＋y2－4x2y2是运动中的一个恒量。这样方程组（J. 3）描述了一系列闭环（如图45a所示）。
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生物学家已经对自守系统产生了怀疑。所以值得安慰的是方程组（J. 1）是渐近稳定的。对于具体数值的例子，该方程组变为：
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Joseph Hofbauer曾经证明，对于这些方程，H＝x2＋y2－4x2y2是一个李雅普诺夫函数（Lyapunov function），那就是说，dH/dt≤0。因此内部不动点是渐近稳定的（如图45b所示）。Hofbauer进一步证明，如果博弈回报矩阵中的所有数值都为正，那么方程组（J. 1）就会收敛于该不动点。
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