1704424517
演化与博弈论 [:1704421383]
1704424518
十一、重复博弈的囚徒困境
1704424519
1704424520
囚徒困境的博弈如表36所示。这场竞争由相同的两个局中人之间展开的一系列博弈所构成。在每一次博弈之后，下一场博弈出现的概率是w。这样，每场竞争所包含博弈的期望次数为1＋w＋w2＋…＝1/（1－W）。
1704424521
1704424522
表36 囚徒困境博弈
1704424523
1704424524
1704424525
1704424526
1704424527
以牙还牙的策略，即TFT策略，在第一次博弈中采取策略C，而在后继的所有博弈中，参与者都会采取对手在前一次博弈中所实施的策略。Axelrod（1981）证明只要博弈的次数足够多，那么策略TFT能够抵抗所有其他策略的侵害，是博弈的一个ESS。
1704424528
1704424529
首先我们要说明的是，我们只需要考虑以下几种可选的策略序列，那就是CCCC……、DDDD……以及DCDC……这是因为除了这些策略之外，其他所有的策略在面对TFT策略时有没有更好的表现。
1704424530
1704424531
首先我们注意到TFT只有对博弈的一期记忆，并且在任何时刻，后继博弈的期望次数总是一个常数。如果I是面对TFT策略所采取的一个策略序列，在任何时刻I采取一次C策略就可以把整场竞争回复到最初状态。同样地，如果I采取的第一个策略是D，在以后任意时刻实施一次D策略也可以把整场竞争恢复到最初状态。
1704424532
1704424533
其次我们注意到如果I是TFT策略的最优反应，那么当最初的状态不断出现时，它必须采取第一步行动时它所采取的策略。如果在那个状态下存在一个更好的策略，那么它应该在一开始就采取过。
1704424534
1704424535
于是我们得到一个最优反应必须具备下列三种形式之一：
1704424536
1704424537
（1）首先采取策略C，于是最初的状态在第二次博弈中得以重复，并且策略C必须再次实施，并一以贯之。也就是说采取策略序列是CCCC……
1704424538
1704424539
（2）首先采取策略D，然后选择策略C。于是最初的状态在第三次博弈中得以重复，并且策略D必须再次实施，并按此规则一直进行。也就是说采取策略序列是DCDCDC……
1704424540
1704424541
（3）首先采取D策略，并且继续采取D策略，于是最初的状态在第三次博弈中得以重复，并且D会被一直实施下去。也就是说采取策略序列是DDDD……
1704424542
1704424543
现在，我们容易看出在三种可选择情形中，那一种场合可以侵害种群。
1704424544
1704424545
TFT策略面对其自身所得回报为：
1704424546
1704424547
R＋wR＋w2R＋…＝R/（1－w）；
1704424548
1704424549
策略CCCC……面对TFT策略所得回报与上式相同，所以CCCC……不可能侵害种群；
1704424550
1704424551
策略DCDCDC……面对TFT策略所得回报为：
1704424552
1704424553
T＋wS＋w2T＋w3S＋…＝（T＋wS）/（1－w2）
1704424554
1704424555
策略DDDD……面对TFT策略所得回报为：
1704424556
1704424557
T＋wP＋w2P＋…＝T＋wP/（1－w）
1704424558
1704424559
倘若不等式R/（1－w）≥（T＋wS）/（1－w2）以及R/（1－w）≥T＋wP/（1－w）成立，那么TFT就是一个ESS。这就是要求
1704424560
1704424561
1704424562
1704424563
且
1704424564
1704424565
于是，如果w足够大，那么以牙还牙策略就一定是博弈的ESS。
1704424566