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先天的知识与能力
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在此，我们需要关注人类具有的一个与教育的原本目的密切相关的特征。它一直被众多教育学家忽视，直到美国语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）将这一特征指出。乔姆斯基的发现是针对语言的习得过程提出的，但也同样适用于数学，即每个孩子在语言和数学上具有的先天的（innate）知识和能力。“innate”也被翻译为天生的、与生俱来的或者固有的。
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毋庸赘言，教育的出发点就是语言的习得和对数学的学习。诞生在美索不达米亚平原上的人类最初的文明，就始于使用语言和计算数目。每个孩子成长为人，契机就是能够说话和数数。老话说，学校教育从读书、写字、打算盘开始。
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每个孩子都生来就具有理解语言和数学思想的能力，这种理解能力是先天的。但是先天能力（有时也包括孩子在家庭环境中后天学习到的能力）在每个孩子身上的表现因人而异、千差万别。在学校教育中，最困难的就是必须让个性不同的孩子聚集在一个教室里同时上课。这也是讨论学校教育时必须注意的问题。
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关于数学的先天知识
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乔姆斯基的发现在语言学中比较容易理解，接下来详细介绍一下关于数学的先天知识。简单地说，数学就是从逻辑上以及数学上对数字、空间、时间的性质加以考察。在教授数学时，孩子们与生俱来的关于数字、空间、时间的先天知识和能力会发挥重要作用。
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平面几何的学习最能鲜明地体现出孩子们对数字、空间以及时间的先天理解力。以下以全等三角形判定定理的证明为例进行说明。
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两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。这个命题是平面几何中最早的定理之一，证明如下：
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定理 假设两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’， AB =A’ B’ ， AC =A’ C’ ，∠A=∠A’，则ΔABC 和ΔA’ B’ C’为全等三角形。
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证明 首先，将三角形ΔABC 的顶点 A 移至ΔA’ B’ C’的对应等角的顶点 A’，使边 AB 和边 A’ B’互相重合。此时，由于已知AB =A’ B’
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因此ΔABC 的顶点 B 和ΔA’ B’ C’的顶点 B’重合。
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同时由于已知∠A=∠A’
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因此边 AC 和边 A’ C’重合，且由于已知AC =A’ C’
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因此顶点 C 和顶点 C’为同一点。
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由此可知，两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’完全重合，即两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’为全等三角形。
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在上述证明过程中利用了图形移动时边长不变的性质，更准确地说，是两点间的距离在运动过程中始终保持不变。孩子们能够直观地理解这个性质，但是我们在教授平面几何时对此却闭口不谈。
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如果说孩子本身拥有的先天理解力是一颗花蕾，教育的目的之一就是对这颗花蕾施以适当的刺激，助其成长并开花结果。但是，孩子拥有的先天理解力也像花蕾和树芽一样，极为纤细稚嫩，决不能粗暴对待，必须耐心等待它自然成长。
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两点间的距离在运动过程中始终保持不变，这其中蕴含着相当复杂的含义。首先，必须明确“两点间的距离”这个概念。使用数学术语来解释，平面几何中的空间是指二维欧几里得空间，两点之间的距离是通过勾股定理得出的。运动是指在上述二维欧几里得空间中的由平行移动和垂直变换组合而成的线性转换，任意两点间的距离在运动中保持不变。上述理解随着 19 世纪现代数学的发展得到加深，教授平面几何时不仅完全没有必要提及，反而有可能阻碍孩子学习探索空间性质这一数学本来的功能。几何教学必须尽可能地尊重孩子与生俱来的先天知识和能力，并注重培养他们充分使用后天获得的知识和技能的能力。
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