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关于数学的先天知识
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乔姆斯基的发现在语言学中比较容易理解，接下来详细介绍一下关于数学的先天知识。简单地说，数学就是从逻辑上以及数学上对数字、空间、时间的性质加以考察。在教授数学时，孩子们与生俱来的关于数字、空间、时间的先天知识和能力会发挥重要作用。
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平面几何的学习最能鲜明地体现出孩子们对数字、空间以及时间的先天理解力。以下以全等三角形判定定理的证明为例进行说明。
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两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。这个命题是平面几何中最早的定理之一，证明如下：
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定理 假设两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’， AB =A’ B’ ， AC =A’ C’ ，∠A=∠A’，则ΔABC 和ΔA’ B’ C’为全等三角形。
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证明 首先，将三角形ΔABC 的顶点 A 移至ΔA’ B’ C’的对应等角的顶点 A’，使边 AB 和边 A’ B’互相重合。此时，由于已知AB =A’ B’
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因此ΔABC 的顶点 B 和ΔA’ B’ C’的顶点 B’重合。
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同时由于已知∠A=∠A’
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因此边 AC 和边 A’ C’重合，且由于已知AC =A’ C’
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因此顶点 C 和顶点 C’为同一点。
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由此可知，两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’完全重合，即两个三角形ΔABC 和ΔA’ B’ C’为全等三角形。
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在上述证明过程中利用了图形移动时边长不变的性质，更准确地说，是两点间的距离在运动过程中始终保持不变。孩子们能够直观地理解这个性质，但是我们在教授平面几何时对此却闭口不谈。
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如果说孩子本身拥有的先天理解力是一颗花蕾，教育的目的之一就是对这颗花蕾施以适当的刺激，助其成长并开花结果。但是，孩子拥有的先天理解力也像花蕾和树芽一样，极为纤细稚嫩，决不能粗暴对待，必须耐心等待它自然成长。
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两点间的距离在运动过程中始终保持不变，这其中蕴含着相当复杂的含义。首先，必须明确“两点间的距离”这个概念。使用数学术语来解释，平面几何中的空间是指二维欧几里得空间，两点之间的距离是通过勾股定理得出的。运动是指在上述二维欧几里得空间中的由平行移动和垂直变换组合而成的线性转换，任意两点间的距离在运动中保持不变。上述理解随着 19 世纪现代数学的发展得到加深，教授平面几何时不仅完全没有必要提及，反而有可能阻碍孩子学习探索空间性质这一数学本来的功能。几何教学必须尽可能地尊重孩子与生俱来的先天知识和能力，并注重培养他们充分使用后天获得的知识和技能的能力。
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这个道理不仅适用于数学，对学习语言以及其他所有教育也都完全适用。教育的终极目标就是在所有的人类活动中，最大限度地尊重每个孩子与生俱来的知识和能力以及后天获得的知识和能力，培养、促进孩子智力、身体以及情感的发展，使他们以社会一员的身份长大成人。教育是适当地刺激每个孩子拥有的智力和情感的花蕾，为它提供养料，使它绽放出美丽的花朵。每个孩子拥有的天赋花蕾都极为纤弱且容易受到伤害。但是，现今日本的学校教育制度缺乏对每个孩子拥有的智力和情感花朵的尊重和保护，反而使孩子们稚嫩的心灵受到伤害，并侵蚀他们的身体。于是，从文化、社会以及人性的角度来看，这样的学校教育制度造成的必然结果，是变得杀气腾腾、恶俗无比的日本社会。
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社会共通资本 02 杜威和自由主义的教育思想
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