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1704634110 微观经济学十八讲 [:1704632818]

1704634111 第二节　斯拉茨基公式

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1704634113 一、斯拉茨基公式的证明

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1704634115 【定理】”>令x（p，y）为马歇尔需求，令u*为消费者在价格p与收入y的前提下达到的效用水平，则

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1704634120 公式（3.1）称为斯拉茨基（Slusky）公式。它表示，价格pj对xi的消费量的总效应（TE）等于替代效应（SE）与收入效应（IE）之和。

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1704634122 为了证明公式（3.1），我们先介绍三个引理：

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1704634125 【引理1】　

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1704634130 证明：固定由v（p，y）的定义知，如果价格为p，最大u可以由y保证，所以e（p，v（p，y））≤y。假定当u＝v（p，y）时，e（p，u）0，使得且e（p，u＋ε）v（p，yε）≥u＋ε。但我们在开始时假定u＝v（p，y），这等于是说u>u＋ε。矛盾。因此，e（p，v（p，v））＝y。（证毕）

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1704634133 【引理2】　

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1704634135 引理2是说，马歇尔需求函数等于价格为p，并且效用在p与收入y条件下达到最大时的希克斯需求函数。

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1704634137 证明：令x0＝x（p0，y0），并且u0＝u（x0），即当价格为p0，收入为y0时消费者选择了x0并且达到效用u0。由于这是最优选择，所以有v（p0，y0）＝u0。并且p0·x0＝y0（否则，若y0·x0

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1704634140 【引理3】　

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1704634142 证明：设p＝p0，u＝u0，xh表示p0·xh解决了e（·）的问题，因此在u＝u0时，p0·xh＝e（p0，u0）。由引理1，e（p0，u0）＝e（p0，v（p0，y0））＝y0，所以，xh解决了（p0，e（p0，u0））时的效用极大化问题。因此xh＝xi（p0，e（p0，u0））。（证毕）

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1704634144 现在来证明公式（3.1）：

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