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微观经济学十八讲 [:1704632848]
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第二节 Bertrand均衡
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大约在古诺给出古诺均衡模型后50年，另一位法国经济学家Joseph Bertrand（1883年）在其一篇论文中讨论另一种形式的同时博弈，参加该博弈的双方都以定价作为决策变量（古诺模型里是以产量作为决策变量）。这一改变使博弈的市场均衡完全不同于古诺均衡。
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一、市场结构
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市场上只有两家厂商，生产的产品完全相同，企业也完全相同（即成本函数完全一样：生产的边际成本＝单位成本＝c，设固定成本为零。）。市场需求为
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Qd＝α－βp
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这两家厂商亦称是Bertrand双头（duopoly）。我们这里讨论的博弈实质上是“价格战”。因为，当我们只考察企业1的状况时，就不难看到
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即企业1的定价p1如高于企业2的定价，则会整个地失去市场；如p1
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二、Bertrand均衡
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Bertrand均衡是惟一的，即两家企业的价格相同且等于边际成本c，利润等于零（正常利润仍是有的）。
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我们来证明，为什么p1＝p2＝c是Bertrand均衡？因为利润函数是非连续的，因此，我们不能通过求导的办法来解一阶条件，我们只有通过常识推理来证明。
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首先，如果两家企业进行价格竞争，因为低价的企业会拥有整个市场，而高价的企业会丧失整个市场。所以，每个企业总有动力去降价，直到pi＝c为止。如pi
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其次，在pi＝c时，每个企业获的利润，即零利润。它们可不可以通过改变价格去增加利润呢？不能。因为若使pi>c，当另一家企业pj＝c时，i会丧失整个市场；若使pi
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再次，会不会有可能出现这样的状况，即p1＝p2>c呢？也不会。证明如下：
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设p1＝p2>c，考虑企业2的决策。企业2在面临p1>c时，可以在p2∈（c，p1）中任选一个价格水平，就可得到整个市场，并且有正利润，而使企业1的利润为零。从而我们有下列推理
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但是，同样的道理也可以反过来用于企业1，即
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把推理（*）与推理（* *）结合起来，我们可知，如果一家企业的价格高于边际成本，另一家企业的价格必然也高于边际成本，并且每一家价格必定要低于另一家的价格。但这最后一句话是不可能做到的。
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所以，p1＝p2>c是不能成为均衡的。
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Bertrand均衡的含义在于，如果同业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格战必定使每家企业按p＝边际成本的原则来经营，即只获取正常利润。但是，如果两家企业的成本不同，则从长期看，成本低的企业必定挤走成本高的企业。
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三、关于Bertrand悖论的三种解法
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Bertrand均衡的结论告诉人们，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格获取垄断利润。但是，这个结论是很难令人信服的。我们看到，市场上企业间的价格竞争事实上往往并没有使均衡价格降到等于边际成本这一水平上，而是高于边际成本，企业仍是获得超额利润的。为什么现实生活里达不到Bertrand均衡呢？这被称为是“Bertrand之谜”或Bertrand悖论（Bertrand paradox）。