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微观经济学十八讲 [:1704632857]
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第四节 混合策略与最大最小（max min）策略
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一、混合策略
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我们在第二节里看到，“石头、布、剪刀”博弈中，在收益矩阵中我们找不到一格是代表均衡结果的。但如果我们从随机的角度来看策略选择，仍能发现均衡。
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例6：请考虑下列博弈（见表10.6）。如果每一个游戏者完全清楚地知道对手将会采取什么样的策略，则不会出现均衡。A如知道B会选择F，则会选择C；B如知道A会选择C，则会选择C；A若知道B会选择C，则会选择F…，如此反复，以至无穷，仍不会有最终的均衡结果。
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表10.6 斗争（F）与妥协（C）
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但是，如果把策略的选择随机化，则我们会得到Nash均衡。如果B在策略F与策略C之间进行选择的概率密度各为则如A选择F，A的效用就为如A选择C，A的效用仍为可见，当游戏者B选择F与C的概率各为时，游戏者A选择F与C的效用是相同的，这说明A在这种条件下的最大效用为零，并且对F与C无差异。给定游戏者A对策略F与C无差别，说明A会以概率去选择策略F与C。但是，如果A以概率去选择策略F与C，则游戏者B在F与C之间也是无差异的，而且也达到了效用极大化（＝0）。这就说明，如果游戏者A与B都以的概率来选择F与C，则他们各自都达到效用极大化。
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我们定义混合策略如下：
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对于游戏者i，其一个混合策略是一个概率密度函数σi∶Si→R，使得，对于所有的si∈Si，都有
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这就是说，游戏者i的混合策略是m个密度函数（如果游戏者i有m个可能的策略选择的话）。如第i个游戏者只有两个可能的策略选择，则其混合策略就只是p与（1－p）两个概率。
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对于i来说，所有的σi的集合记为Mi＝｛σi｝。
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【定义】 混合策略纳什均衡：如果对于博弈中所有的游戏者i，对于所有的σi∈Mi，都有则称σ*为一个混合策略的纳什均衡。
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【定理】 如果σ*是一个混合策略的纳什均衡，则对于具有σi给定的正概率的每一个策略si∈Si，都有ui（σ*）＝ui（si，）。（证明从略）
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这个定理告诉我们：如果存在混合策略的纳什均衡，则当si具有发生的正概率（由i的混合策略给定）时，游戏者对于其可能选择的每一个纯粹策略si都是无差异的。根据这一定理，我们就很容易找出混合策略均衡。
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例7：考虑下列博弈：
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表10.7
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