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第一章 数学中的直觉和逻辑
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Ⅰ
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研究一下伟大数学家或一般数学家的著作，人们不能不注意到和区分出两种相反的趋势，或者毋宁说是两种截然不同的心智类型。一些人尤其专注于逻辑；读读他们的著作，人们被诱使相信，他们效法沃邦[1]，对准被包围之地挖壕掘沟，步步进逼，没有给机遇留下任何余地。另一些人受直觉指引，他们像勇敢的前卫骑兵，迅猛出击，但有时也要冒几分风险。
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并非所处理的问题迫使他们采取这种或那种方法。虽然人们往往称前者为解析家，称后者为几何学家；但是这并不妨碍第一种人依然是解析家，即使当他们研究几何学的时候；而另一种人还是几何学家，即使当他们从事纯粹解析的时候。正是他们的心智的本性，使他们成为逻辑主义者和直觉主义者，当他们探究新课题时，他们也不能把它撇到一边。
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在数学家中间，并非教育能助长一种趋势而抑制另一种趋势。数学家是天生的，不是人为的，他似乎生来就是几何学家或解析家。我乐于引证一些例子，这样的例子实在太多了；但是，为了强调对照，我愿以一个极端的例子开始，请允许我冒昧地在两个活着的数学家中寻找例证吧。
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梅雷（Méray）先生想证明，二项式方程总是有根，或者用通俗的话说，角总是可以剖分。如果存在任何用直接的直觉可以感受的真理，那么它就是这样的真理。谁会怀疑一个角总是可以分为任意等分呢？梅雷先生却不如是观；在他看来，这个命题根本不是明白的，他需要几页篇幅证明它。
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另一方面，看看克莱因（Klein）教授，他正在研究函数论的一个最抽象的问题：确定在给定的黎曼（Riemann）曲面上，是否总是存在具有已知特性的函数。这位著名的德国几何学家做了些什么呢？他用电导率按某些规律变化的金属面代替他的黎曼曲面。他把金属面上的两个点与电池的两极联接起来。他说，电流必定通过金属面，电流在面上的分布将确定一个函数，该函数的特性恰恰就是说明所要求的特性。
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毋庸置疑，克莱因教授完全了解，他在这里提供的仅是一个梗概；不过，他还是毫不犹豫地发表了它；他恐怕认为，他从中发现，即使这不是严格的证明，但至少在内心上是可靠的。逻辑主义者极端厌恶地排斥这种概念的形成，或者更确切地讲，他不可能排斥它，因为在他的思想中从来也没有产生过这种概念。
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请容许我再比较两个人，他们俩是法国科学的光荣，最近去世了，可是他们的业绩早就永垂不朽。我讲的是贝特朗（Bertrand）先生和埃尔米特（Hermite）先生。他们同时在同一学校上学；他们受相同的教育，处于同样的影响之下；可是差别却何等之大！这不仅在他们的著作中显现出来，而且在他们的教学、谈吐方式，甚至在他们的外表中都有所表现。这两个人的风采在他们所有学生的脑海里铭刻下永不磨灭的印记；对于那些乐于聆听他们的教导的人来说，这种记忆依然历历在目；我们很容易唤起它。
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贝特朗在讲演时总是动来动去；他时而仿佛与某些外来之敌战斗，时而用手势描绘他所研究的图形的轮廓。显然，他想象着，并试图去描绘它，这就是他为什么要借助于手势。而埃尔米特则迥然不同；他的双眼似乎避免与世界接触；他寻求真理的妙诀不在心外，而在心内。
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在本世纪的德国几何学家中间，有两个人尤其遐迩闻名，这两位科学家奠定了广义函数论，他们是维尔斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼。维尔斯特拉斯把一切都归结为考虑级数及其解析变换；为了更好地表示，他把解析化为类似于算术的拓展；翻阅他的全部著作，你找不到一张插图。相反地，黎曼却立即求助于几何学；他的每一个概念都是一幅图像，人们一旦把握了它的意义，便会永志不忘。
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其后，李（Lie）是一位直觉主义者；读其著述，顿生疑团，经他道破之后，人们便涣然冰释；你同时看到，他用图形思维。而科瓦列夫斯基夫人（Madame Kovalevski）则是一位逻辑主义者。
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在我们的学生中间，我们也注意到同样的差别；一些人更喜欢“用解析”处理他们的问题，另一些人则“用几何学”。前者不能“在空间中想象”，后者则十分厌倦冗长的计算，很快就变得晕头转向。
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对于科学的进步来说，这两类心智同样是必要的；逻辑主义者和直觉主义者都获得了其他人没有作出的巨大成就。谁胆敢冒昧地说，他宁愿维尔斯特拉斯永远不著书立说，或者宁愿世上从来就没有黎曼这个人呢？而且，分析和综合二者都有其合情合理的作用。比较周密地研究一下它们在科学史中各司其职，是饶有兴味的。
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Ⅱ
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太奇怪了！如果我们浏览一下古人的著作，我们情不自禁地把他们统统归入直觉主义者之列。然而，人的本性总是相同的；要在本世纪开始创造出专注于逻辑的心智，这几乎是不可能的。假使我们使自己置身于古代几何学家所处时代的占统治地位的思潮中，那么我们会清楚地认识到，他们之中的许多人在倾向性上都是解析家。例如，欧几里得（Euclid）创造了科学结构，他的同代人没有从中挑出毛病。在这个庞大的建筑物中，它的每一个部件不管怎样都归因于直觉，可是我们今天依然可以毫不费力地从中辨认出一位逻辑主义者的工作。
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变化的不是心智，而是观念；直觉心智依然是相同的；可是，他们的读者却要求他们做出较大的让步。
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这种演变的原因是什么呢？原因是不难发现的。直觉不能给我们以严格性，甚或不能给我们以确定性；这一点愈来愈得到公认。让我们举一些例子。我们知道，存在着没有导数的连续函数。没有什么东西比逻辑给予我们的命题更让直觉震惊了。我们的祖先不假思索地断言：“每一个连续函数都有导数，这是很明白的，因为每一条曲线都有切线。”
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直觉怎样能够在这一点上欺骗我们呢？正因为当我们试图想象曲线时，我们无法把它描绘得没有宽度；正是这样，当我们描绘直线时，我们在直线的形式下把它看成某一宽度的直带。我们清楚地认识到，这些线没有宽度；我们力求把它们想象得越来越窄，从而趋近极限；我们在一定的限度内这样做，但是我们从来也不会达到这一极限。于是，很显然，我们总是可以把这两条窄带——一条直的、一条曲的——画在这样的位置上，使得它们轻微地相犯而不相交。若不管严密的解析，从而我们将得出结论：曲线总是有切线。
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我愿把狄利克雷（Dirichlet）原理作为第二个例子，如此众多的数学物理学定理都建立在该原理上；今天，我们通过十分严格、十分冗长的推理确立它；相反，在此之前，我们却满足于概括的证明。与一任意函数相关的某一积分永远不为零。人们由此断定，它必定有极小值。这一推理中的缺点直接冲击着我们，因为我们使用了抽象的术语——函数，因为我们熟悉，当在最普遍的意义上理解这个词时，函数能够呈现出的所有特异性。
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但是，如果我们利用具体的图像，例如我们把这个函数看做是电势，情况就不同了；可以认为，断言能够达到静电平衡是合理的。然而，物理比较也许能唤起一些模糊的怀疑。但是，如果谨慎地把推论翻译成几何学的语言，即介于分析语言和物理学语言之间的语言，那么毫无疑问，这种怀疑便不会产生，这样一来，人们即使在今天还能欺骗许多没有预先告诫的读者。
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因此，直觉没有给我们以确定性。这就是演变为什么必然发生；现在，让我看看它是如何产生的。
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人们将立即注意到，除非严格性先进入定义中，否则就无法在推论中引入严格性。因为数学家所处理的大部分对象长期以来都没有恰当定义；他们假定它们是已知的，由于他们借助于感觉和想象来描述它们；但是，人们仅有它们的粗糙图像，而没有一个推理能够赖以成立的精确观念。因此，逻辑主义者必须首先在这里付出他们的努力。
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在不可通约数的情况中就是这样。我们归因于直觉的连续性的模糊观念本身分解为关于整数的不等式的复杂系统。
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借助于这种方法，由通过极限或考虑到无限小而引起的困难终于被消除了。今天，在解析中，仅仅剩下整数，或者说，整数的有限或无限的系统被相等或不等关系的网格约束在一起。正如数学家所说，数学被算术化了。
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