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我的几何人生（丘成桐自传） [:1705576448]
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我的几何人生（丘成桐自传） 第五章 高峰挺进
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记得好事新谐，笙调心印人依。
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弦琴天籁得相窥，太初玄秘现，物数竟同归。
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——《临江仙·记七六年事》选句，2014年
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1746年，加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）生于法国博纳，位于勃艮第产酒区，邻近第戎，他爸爸是个货郎。蒙日从小就显露出绘制建筑物草图的才能，还是少年的时候，他画的一幅细节丰富的大型家乡图，引起了一位军官的注意。在这位军官的帮助下，蒙日进了法国北部的一所军事学院。由于学校只为贵族子弟而设，平民出身的他并不能正式入学，只能在分隔开来的另一边学习绘图和测量，这样的安排并不能使蒙日满意，他渴望能碰上一个可以尽展所长的机遇。
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一年多后，机会终于来了。当时正要建造一个堡垒，有人问他如何设计枪炮的位置，好使堡垒的守军能避开敌人的炮火。蒙日利用自己创造的几何方法，完成了这个任务，速度之快甚至引起一些人的疑心。但无可怀疑的，是他数学上的才能，让他得以一展所长。
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1768年，他开始教授物理和数学，并且研究偏微分方程，以及微积分在几何上的应用。到了1780年代，他在巴黎找到数学教席，并着手研究一类特殊的非线性偏微分方程，这方程后来称为蒙日—安培方程。之所以把安培的名字放上去，可能是反映数十年后，安培对方程的某些修订。大家知道，安德烈—玛里·安培（AndréMarie Ampère）是法国科学家，对电磁学有很大的贡献，电流的单位安培就是以他名字命名的。（说“可能”是因为我不肯定安培实质做了什么贡献，有时方程式会不知何解地附上某人的名字。）
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蒙日的故事告诉人们，除了对数学本身的兴趣外，数学事业的开展可以是间接或出乎意料的。这里提到蒙日的原因，乃因卡拉比猜想可以由一条蒙日—安培方程表达出来。前面说过，这是一条非线性的方程，含有至少两个独立的变量，并且是“复”的，即是说，它和复数有关。对我而言，面对的挑战是，除了一维的简单情况外，没有人曾经解过复的蒙日—安培方程。在卡拉比猜想中，我要求解的乃是高维空间上的复蒙日—安培方程，这是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此。
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在斯坦福的1973—1974学年，我开始着手求解蒙日—安培方程。那时距离蒙日发现这方程已差不多两个世纪了。可幸人们已经找到一些可使用的数学工具，而我自己也找到一些新的法子，这是蒙日当年不可能想象到的。我首先考虑在实数域上的蒙日—安培方程，它和曲面的曲率有关。实方程比复方程的处理来得容易一些，我邀请友人郑绍远合作。他当时在伯克利，时常来斯坦福看我。我的策略是借着对实方程的研究，来加强对方程的了解，然后才对付比较麻烦的复方程。
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也许是幸运之神的眷顾，绍远和我不久即有所获，我们解了一个在著名的闵可夫斯基问题中出现的蒙日—安培型的方程。这个问题，以最简略的言辞来说，就是要找出给定曲率的曲面。你或者已经猜到为何我对这问题感兴趣。自从四年前修了莫里的课后，我一直对几何和偏微分方程的关系情有独钟。这亦是几何分析发展的主要动力，我正在这领域中努力，开发耕耘，并与其他志同道合者如郑绍远、理察和西蒙等群策群力。
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解决这类问题的策略，正如上一章所述，在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日—安培方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性。
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1974年春天，陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫（Mikhail Gromov）被视为当世最杰出的年轻几何学者之一，他正初次访问伯克利，伯克利待之为上宾。在六个月前，我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积，格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法，无论如何，这结果经得起考验，绝没有错。
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这次在伯克利讲的是另一主题，就是在几何空间中的“谱”，即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上，它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难，宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法，就如上次争辩中的做法一样，非常倚重非线性偏微分方程，而格罗莫夫并非这方面的专家，或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白，而是嚷道我的理论有严重错误。
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他对我说话的态度，好像我是个差劣的学生，没有好好地做作业。在研讨班上，他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底，据我揣摩，是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理，都必须用直观几何的方法来证明，不能用拓扑或图形解释的方法，而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念：深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外，还需要加上大量分析的方法，尤其是新近发展的非线性分析的工具，并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念，四十年来的经验，显示这是正确而且丰富的想法。
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这次研讨班不算成功，格罗莫夫不断高声质疑，它怎可能会好。不过，其后我把证明详细地再讲给他听，并答复了他一次又一次的问难，终于把分析的方法化作纯粹的几何术语，阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然，对结果默默接受了。几年后，他将我的几何解释应用于其他几何问题上，他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。
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后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生，他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学，就有点像用细小的片片，如乐高般嵌成整个几何的空间或流形，从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法，利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同，却殊途同归。必须重申，瑟斯顿想得透彻而具原创力，他的论证不必时时详尽清晰，其理念却对数学有深刻而长远的影响。
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从与格罗莫夫和瑟斯顿等人的交流中，我上了宝贵的一课。那就是，在几何分析作为一种工具广为人所接受之前，必须克服来自主流的几何和拓扑学者的重重阻力。想深一层，所有新的方法，尤其是和已知迥异的，在成为潮流前莫不如此。对新事物保守的反应，一方面使新事物小心谨慎地发展，这是好事，但另一方面亦会阻碍其向前的步伐。
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我并没有让这些挑剔破坏工作上的热情，一切进展得很顺利，可在个人问题上遇到了些许挫折。1974年6月，友云原来在斯坦福当博士后，但她随即在普林斯顿找到另一份博士后工作。普林斯顿的等离子物理实验室坐落在大学校园，是美国能源部的实验室，对她来说这是份绝佳的差事。正常来说，我会替她高兴；然而，这意味着我们不久之后，又要分隔在美国的两端了。她很快便离开了，驾驶着车子和她母亲往普林斯顿去了。
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此时，一个香港的老朋友徐少达出其不意来访，还带上他的女朋友，这使我暂时把苦恼抛开。他女友打算短期内回香港，正和他处于分手的边缘。我们即兴到优胜美地国家公园一游，黄昏时就坐上我的车子出发，到山上已经很晚了。这次仓促的出游，正是我们需要的。高耸入云的山峰，令人屏息凝神，神奇的力量使人精神超越，纵览天下，耳目一新。此行如此美妙，少达和女友决定共订鸳盟。
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我在为他们高兴的同时，想到自己目前仍是孤身一人。我一如既往投身于工作，早已习惯了长时间的工作，有时直至深夜，甚至在案前睡着了。这样的生活方式，当然不利于呵护一段男女关系。不过，我现在孑然一身，手头也不乏数学项目，供我消耗时间，燃烧思想，尤其是卡拉比猜想，早已令我沉迷而不知返了。
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复蒙日—安培方程是卡拉比猜想的中心问题，在对付它之前，绍远和我认为应先做些额外的工作。1974年，我们开始研究狄利克雷问题。彼德·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustave Lejeune Dirichlet）是德国数学家。我们开始时并不知卡拉比和尼伦伯格也在研究同一问题。所谓“边界值问题”，其基本思想可简言如下：正如简单的方程式的解是一点集如圆形或拋物线，更复杂的微分方程的解乃是曲面。狄利克雷问题提出：假如这个曲面的边界已知，能否从此确定曲面内部每一点的位置，使这曲面满足给出的微分方程？标准的方法是，正如上面已经提过，利用一连串的估值和逼近，最后得出满足这偏微分方程的函数。
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在狄利克雷问题或卡拉比猜想中应用的估值法过于繁复，在此描述并不适宜。考虑较简易的逼近技巧牛顿法，用此法求解实数值函数的零点，即该函数的图像和x轴的交点。我们从估值x0开始，穿过x0上图像的切线与x轴相交于x1，如此继续下去而得到x2、x3……这些点会愈来愈接近于零点x。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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尼伦伯格已安排了在1974年温哥华举行的国际数学家大会上做一小时的主题演讲，题目正是他和卡拉比对这个狄利克雷问题的解答。但是，陈先生告诉我们，卡拉比和尼伦伯格在他们流通的预印本中发现了一个错处，于是问题顿成悬案，成为众人注目的难题。
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