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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第十章 六度合作
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他是一个天才，一个哲学家，一个抽象思想家。他有一流的大脑。他坐着的时候，静谧不动，就像一只蜘蛛趴在蛛网的中央，但是那个网却有着成千条放射线，他能够洞察放射线上的每一次颤动。
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——歇洛克·福尔摩斯对莫里亚蒂博士的描述
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《最后的问题》（亚瑟·柯南道尔）
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到20世纪50年代末，爱多士的生活开始变得像好莱坞旧电影中的蒙太奇，接连不断地乘火车坐飞机，连他的旅行箱都糊满了来自不同国家的标贴。例如，1960年，爱多士迅速地从布达佩斯赶到莫斯科，接着到列宁格勒，又返回莫斯科，然后取道伊尔库茨克和乌兰巴托去北京会见他的老朋友柯召——他们在曼彻斯特相识——和华罗庚——他的来信曾使爱多士被贴上共产主义者的标签，接着爱多士登上飞机赴上海，然后乘火车去杭州。另一次航行把他送到了广东，从那里他又登上火车，这次的目的地是香港；最后爱多士经新加坡赴澳大利亚去拜访乔治·塞凯赖什夫妇。而且那还不是他特别忙碌的一年。正如贝尔曼（Richard Bellman）所写的：“无人知道爱多士在哪里，甚至不知他在哪个国家。然而，唯一可以确定的是，爱多士一年到头哪儿都去。他是人类所能达到的、与各态遍历的(1)运动粒子［最终能造访所有可能的物理状态的基本粒子］最相似的事物。”爱多士的一个朋友曾经意外地在大街上碰到了他，并问：“保罗，你是在这儿吗？还是在别的什么地方？”
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爱多士总是精力充沛，不断地从一地转到另一地；会见几十位数学家，聆听上百个新的定理和猜想。这一切鼓舞着他，使他更加多产。“不管我走到哪里，总有一群老少数学家围绕着我，我向他们提出问题，这些人的研究我也能够参与，我可以和他们一起工作，”爱多士说，“除此之外，我带着大量从别处听来的未解决的问题。这种交流方式比通信更快捷更有效。”
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爱多士不是一个被动的通信者，每一年他都用其歪歪扭扭但又分辨得出的潦草笔迹写上几千封信和明信片，以同等的迅捷和礼貌回答来自世界知名的数学家或名不见经传的学生的问题。他对名字、电话号码以及数学参考文献的记忆力是具有传奇色彩的。数学家们常常会向爱多士透露他们正在研究的秘密问题，爱多士沉默片刻，大脑飞快地旋转，然后精确地会指出与此问题相关的参考文献。
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爱多士把名字与面孔对上号的能力却不那么完美。施文克（Allen Schwenk）和许多数学家都有着同样的经历：“在我们相识的前六七年，保罗总是用同样的方式向我问候：‘你好，你现在人在哪里？’那段时间里我一直在海军科学院，我想这个问题问得真怪，但我终于明白，尽管他从面孔上认出我是个数学家，却叫不上我的名字。这个问题给了他认出我所需要的线索。后来，当我的身份被确定后，问候变成：‘你好，你的老板和埃泼西龙怎么样？’”在另一个场合，爱多士遇到一个数学家并问他从哪里来。“温哥华。”这位数学家回答。“啊，那么你一定知道我的好朋友门德尔松（Elliot Mendelson）了。”爱多士说。这位数学家回答说：“我就是你的好朋友门德尔松。”
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在数学会议上，爱多士在大厅里忙个不停，就像一个象棋大师参加同时与几个人对弈的表演赛一样。他从一个小组挪到另一个小组，聆听并讨论片刻问题，给出一些建议后就转移到下一群人。所讨论的问题经常是属于数学中完全不同的领域，需要不同的思维方式，但爱多士几乎总是能立即转入讨论。不管是过了几分钟，几个月还是几年，当爱多士返回时，他往往显示出某种令人惊奇的能力，即正好从曾经中断的地方重新开始讨论。借用计算机科学的语言，爱多士的大脑是多线程、多任务系统。
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正如拉多所说：“不管［爱多士］到哪里参观，他都会留下看得见的印记：从他的爪，能分辨出一头雄狮。不管爱多士把目光投向什么目标，定理都会雨后春笋般地在那里冒出来。”随着不断增多的旅行，爱多士变得比以前更加多产，合作者的数量也从一小群增长到一大批。似乎每一个人都要么曾与爱多士本人、要么至少和曾与爱多士合作过的人合写过一篇论文。除了经常移动，爱多士与柯南道尔笔下的莫里亚蒂教授没有什么区别。他所拥有的是一张错综复杂的巨大合作网络。
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有人注意到，爱多士的合作网可以精确描述为他所喜爱的数学研究对象——图。从这样的观察出发，爱多士数的概念诞生了。每一个与爱多士合作写过论文的人被说成是有爱多士数1。任何与有爱多士数1的人合作过的人会得到一个爱多士数2，如此等等。一个数学家，如果没有任何合作链将他与爱多士连接起来，就被说成有一个无限爱多士数，这意味着这个数学家要么是单干户，要么无足轻重。实际上，任何与他人合写过论文的数学家，以及很可能不同领域的大多数科学家，都有一个有限的爱多士数。例如，爱因斯坦的爱多士数是令人印象深刻的2（他与斯特劳斯合写过文章，而斯特劳斯与爱多士合写过文章）。交流爱多士数和关于爱多士数的传闻在数学家中是一个流行的派对游戏。“你的爱多士数是多少？”这是数学家聚会见面时很好的开场白。
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爱多士数的游戏与一个涉及演员培根（Kevin Bacon）的派对游戏相类似。电影迷们这样定义男女演员的培根数：那些曾与培根在同一部电影里出现过的人培根数为1，那些曾与培根数为1的人在同一部电影里出现过的演员培根数为2，如此等等。根据对“电影”的定义（按纯粹派艺术家的规定，一部电影至少应在剧场放映1次），爱多士有一个引人注目的培根数4。1993年，他曾与一位名叫帕特森（Gene Patterson）的数学家兼临时演员共同短暂地出现在一部关于爱多士的纪录片《N是一个数》中。帕特森曾与图尔图罗（John Turturro）在《月光宝盒》中搭档，图尔图罗又曾与汤姆·克鲁斯共同出现在影片《金钱本色》中，克鲁斯则与培根合演过《好人寥寥》。如果把定义放宽，培根可以说成拥有一个培根-爱多士联合数。一位名叫格罗斯（Benedict Gross）的数学家有培根数2，因为他曾经在克莱伯勒（Jill Clayburgh）的影片《轮到我了》中担任过数学顾问，他同时还有爱多士数3。这样，好莱坞世界和高等数学就有了共同语言。
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即使是垒球也能通过爱多士的方法与数学联系起来。1974年，在阿龙（Hank Aaron）打破鲁思（Babe Ruth）的714本垒记录之前几周内，数字714与715几乎挂在每个人的嘴边上。波默朗斯（Carl Pomerance），这位来自佐治亚大学的数论学家和垒球迷，想弄清楚这些数字是否具有超出垒球场之外的意义。发现与日常生活中所遇到的数字有关的有趣事实，在数论学家中是流行的消遣。最著名的是有一次，哈代去探望正在住院的拉马努詹。在乘出租车去医院的路上，哈代记下了出租车号1729。走进拉马努詹的病房时，哈代说他乘坐的出租车有“一个相当乏味的车号数”，并希望这不是一个坏兆头。拉马努詹问清是什么数后立即说道：“不，哈代，这是一个非常有趣的数字。它是用两种不同方法把两个立方相加所得之和中最小的数。”换言之，103+93和123+13都等于1 729，而且没有比它更小的数能具有这个性质。“拉马努詹是怎么知道的？”他的传记作者卡尼格尔问，“那不是突然之间就洞察到的。几年前，他就已经观察到了这朵小小的算术花絮，然后把它记在笔记上，并以他那特有的驾驭数字的能力记住了这个事实。”
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深入地研究了714和715之后，波默朗斯很快发现了它们有趣的秘密。(2)714的素因子之和恰恰等于715的素因子之和。即，
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714=2×3×7×17
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715=5×11×13
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2+3+7+17=5+11+13=29
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波默朗斯立即决定称具有这样性质的数为鲁思-阿龙数对（Ruth-Aaron pair），并在一个不出名的刊物上发表了一篇论文，包含了对这种数对出现频率的推测。这篇与纳尔逊（Carol Nelson）和彭尼（David Penney）合写的论文或多或少是个数学玩笑，但不知怎么，这篇论文引起了爱多士的注意。爱多士看出了怎样去证明波默朗斯关于鲁思-阿龙数对的密度或频率的猜想，便决定给波默朗斯打个电话。
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波默朗斯感到意外，爱多士居然看到了他的论文，当他接到这个著名数学家的电话时，绝对是受宠若惊。“那一学期，我在我的微积分学生中成了知名人士。”波默朗斯回忆道。这个电话的结果自然是——除了学到一些好的数学——波默朗斯现在可以夸耀说他有爱多士数1了。他后来又继续与爱多士合作了20余篇论文。
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1995年，佐治亚大学授予爱多士和阿龙荣誉学位。爱多士邀请波默朗斯和他夫人参加了招待会。那里，阿龙正在往垒球上签名。波默朗斯把阿龙叫到一边并试图告诉他有关素因数的知识，鲁思-阿龙数对，等等。这个垒球高手“有点不知所措”，波默朗斯说，但不管怎样，阿龙还是为他在一个垒球上签了名。波默朗斯请爱多士也在这只垒球上签了名。把“联合发表”的定义放宽了一点，波默朗斯声明阿龙有爱多士数1。
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爱多士数本身曾一度成为某种半严肃数学研究的焦点。1969年，普渡大学的数学家戈夫曼（Casper Goffman）发表了一个爱多士数的定义，很好地表明了模糊的概念如何转化成明确的数学对象：
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令A和B为数学家，令Ai（i=0，1，2，…n）都是数学家，且A0=A，An=B，其中Ai与Ai+1（i=0，1，2，…n-1）至少合作过一篇论文。那么，A0，A1，…，An称为联结A与B的长度为n的一个链。B的A数记为v（A；B），定义为所有联结A与B的链中长度最短的链。如果不存在联结A与B的链，则v（A；B）=+∞。此外v（A；A）=0。则有v（A；B）=v（B；A）和v（A；B）+v（B；C）≥v（A；C）。
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对特殊情况A=爱多士，我们得到方程v（爱多士；·），它的定义域就是所有数学家的集合。
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