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世界因何美妙而优雅地运行 83THE PIGEONHOLE PRINCIPLE REVISITED重返鸽巢原理
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查尔斯·塞费（Charles Seife）
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纽约大学新闻系教授，曾任《科学》撰稿人，著有《数字是靠不住的》（Proofiness, The Dark Arts of Mathematical Deception）。
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有 时候，即使是计数这样简单的事情都能让我们体会到，事物所具有的深奥。回到20世纪90年代末期的一天，当时我还是《新科学家》（New Magazine）杂志社的记者，我收到一封广告电子邮件，邮件中吹嘘有一款超级无敌的软件。说这款软件革命性的、高效能的数据压缩软件，足以将每一个数字档案压缩到95%以上，而且不会丢失任何一个比特的数据。如果真的存在这样的软件，难道我的杂志不会抓住机会，向全世界宣称，这个计算机软件将会使硬盘比过去多存储20倍以上的信息吗？
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不，我的杂志不会这么做。
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因为这样的压缩演算法压根不存在。这是与永动机画上等号的演算法。这样的软件压根就是骗人的把戏。原因就在于鸽巢原理。
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鸽巢原理是个简单的计算论证。如果你有n只鸽子，要将鸽子放进少于n的盒子中，至少有一个盒子必须有一只以上的鸽子。显而易见地，这个论证是个强大的工具。举个例子，假设压缩软件真如广告所言，能将每个档案缩小20倍还不会失真的话，那么每个含有2 000比特的档案，会被压缩到只有100比特，然后当演算法反推时，就扩大回其原来的样子，并完好无损。
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在对文件进行压缩时，这其中就蕴含了鸽巢原理。假设有许多含有2 000比特的鸽子（确切地说是22000），其数量远远超过了含有100比特（2100）的盒子的数量。如果演算法将前者塞进后者之中，起码有1个盒子里必须有多只鸽子才能完成。用那个含有100比特数据的盒子进行反向演算，把该档案扩大到原来的2 000比特。这是根本做不到的。因为有多重的2000比特的数据被挤进同一个含有100比特的盒子中，演算法无法得知哪一个才是真正的原型，因为它无法进行反向的压缩过程。
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鸽巢原理针对压缩演算法的作用有着绝对的限制作用。它确实可以压缩一些档案，通常效果惊人，但它无法进行全部的压缩，至少，如果你坚持十全十美的话，它无法做到。
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与鸽巢原理相类似的计数论证，为我们开启了探索整个新领域的大门。德国数学家格奥尔格·康托（Gerog Cantor）采用一种逆向鸽巢原理的方法证明了，即使有无限多个整数，将实数放进由整数标记的盒子也是行不通的。即无穷有不同的层级这几乎是无法想象的推论。整数的无限被实数的无限矮化，而实数又被另一种无限矮化，而另一种无限又被无限多的无限矮化，在我们学会对它们进行计数之前，一切都是未知的。
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当鸽巢原理迈入如此深邃的空间时，我们会得到一个更为奇异的结果。物理学中有个原理叫作全息界线，即在任何有限体积的空间中，物质和能量的可能组合数量是有限的。如果真像宇宙学家认为的那样，宇宙是无限的，那么就会有无限多个可见的、如宇宙大小的空间，这些空间都是宇宙大小的巨型泡泡，其中包含物质和能量。如果空间或多或少是均匀的，则我们所在的这个宇宙与大大小小的泡泡相比，并无任何特别之处。把这些假设归纳在一起，将得到一个令人瞠目结舌的结论。
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在无限多个宇宙大小的泡泡中，每个泡泡仅配置有一定数量的物质和能量，这意味着我们的宇宙和我们的地球并非仅有一个复制品；鸽巢原理的超限理论表明，每一个可能存在的宇宙，都有着无限数目的复制品。在无限可替换的地球上，不仅有无限个你的复制品，而且，在同一地球复制品上，还有千变万化的无数版本的你：一个版本中的你，有着一条卷尾；另一个版本的你则有着很多脑袋；还有个版本中的你，是靠着装扮成食肉的兔形动物，来换取廉价珠宝而成为人生赢家的你。甚至像数着1，2，3这样简单的事情，也可以引领你步入千奇百怪而又出乎意料的领域。
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世界因何美妙而优雅地运行 84THE LIMITS OF INTUITION直觉的局限性
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布莱恩·伊诺（Brian Eno）
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艺术家、作曲家、音乐家，U2乐队、酷玩乐团、传声头像乐队和保罗·西蒙的音乐制作人。
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我 们常常认为，由直觉产生的念头和情感，本质上高于那些因理智和逻辑而来的想法。直觉，也就是“第六感”，它无所畏惧地直接穿越迂腐的理智，是一个被神圣化的具有高贵心灵的野蛮人。大多数凭借直觉来工作的艺术家，特别容易出现这种信念。但许多经历让我对此持有怀疑态度。
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第一个问题是，维特根斯坦惯于抛给他学生的问题：拿一条丝带，绕着地球的赤道围一圈（让我们姑且认为地球就是个完美的球体吧）。不幸的是，你围得太松了，大约长了一半。问题如下：如果把长出来的那一半，加在地球的周长上，形成的新的球面会高出地球表面多少？
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绝大多数人的直觉会让他们得到的答案是：高度不到1毫米。但实际的答案是高出了大约16厘米。在我的经验里，只有两种人会有接近正确答案的直觉：数学家和裁缝。其实在我听到答案的时候，我还是个学艺术的学生，我花了整整一个晚上，不停地计算再计算，因为我的直觉在叫嚣着这不对。
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没过几年，在旧金山的探索博物馆里，我的直觉让我再次目瞪口呆。那是我第一次看到约翰·康韦（John Conway）的《生命》（Life）这款电脑游戏。对不太熟悉这款游戏的人们而言，它只是个简单的网格点，根据同样简单、完全确定的规则开始游戏。规则决定哪些点会在下一步活着、死亡或出生。没什么技巧可言，也没什么新颖之处，只有规则。整个系统相当透明，按理说也应该没有什么惊喜，但事实上，这款游戏有太多的惊喜了：圆点模式进化的复杂性和“有机性”让预测完全失灵。只要改变开始位置的一个点位，整个情境的发展就会大相径庭。只要调整一点点规则，就会有爆炸性的增长或瞬间的世界末日。你就是没有（直觉的）方法来揣摩接下来会怎么样。
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对我来说，这两个例子优雅地呈现出以下特性：
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1．“确定性”并不意味着“可预测”；
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2．我们并不善于以直觉的方式，去了解简单规则与初始条件的相互作用。此处的重点是：本质上人脑凭直觉能力去感知某些特定事物是有限，譬如量子物理和或然率；
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3．直觉不是一种来自我们身体之外的、能够与我们对话的神秘之音，而是利用我们积累的经验来进行一种快速混乱的处理方式。这就是为什么裁缝能猜到正确的答案，而其他人则做不到的原因。
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