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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611269]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、时钟佯谬简析
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以上就是时钟佯谬的简史，对于我的读者来说，还可以补充一段史上最小的八卦，那就是我“小时候”也曾认同过广义相对论才是时钟佯谬正解的看法，在自己网站（http://www.changhai.org/）的昔日版本中还贴过怀旧之作，对某些基于朗之万和冯·劳厄思路的解释进行了“呛声”。也许是因此之故，常有网友问及时钟佯谬。从这个意义上讲，本文可算是一篇还债之作——还那怀旧之作引发的文债。
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这篇还债之作之所以拖到今天才写，不是企图“赖债”，而是因为时钟佯谬的现代解释实在太简单了，简直就是“一句话解释”，就算加上注解，似乎也构不成一篇文章。当然，这种估计如今看来显然是错误的，因为真要写的话，几乎没什么话题是构不成文章的。
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好了，现在言归正传，谈谈时钟佯谬的现代解释。自20世纪70年代以来，有关相对论的许多教材和专著，比如沃尔德（Robert M. Wald）的《广义相对论》（General Relativity）、托雷提（Roberto Torretti）的《相对论与几何》（Relativity and Geometry）、伦德勒（Wolfgang Rindler）的《相对论》（Relativity）、萨克斯（Rainer Sachs）等人的《数学家用广义相对论》（General Relativity for Mathematicians）、米斯纳（Charles W. Misner）等人的《引力》（Gravitation）、塞克斯尔（Roman U. Sexl）等人的《相对论、群论、粒子》（Relativity, Groups, Particles）等都采用了几何语言来阐述时钟佯谬，这就是所谓时钟佯谬的现代解释。在中文文献中，梁灿彬等人的《微分几何入门与广义相对论》也采用了现代解释，中文读者可以参考[3]。
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那么究竟什么是时钟佯谬的现代解释呢？我没有忽悠诸位，它的要点确实只有一句话，那就是：时钟记录的是自己的世界线长度。在时钟佯谬中，之所以是运动时钟慢了，原因就是它的世界线长度较短。这里唯一要说明的是，所谓“世界线长度”指的是闵科夫斯基空间中的长度[4]，它与普通空间中的长度有一个最大的区别，那就是前者的测地线（即“直线”）长度是极大值而不是极小值。（请读者想一想，这是闵科夫斯基空间的什么特点造成的？）但无论闵科夫斯基空间还是普通空间，有一点是共同的，那就是长度是坐标变换下的不变量，从而与参照系或坐标系的选择无关[5]。
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在这样的几何语言下，时钟佯谬的结论，即运动时钟比静止时钟慢，不过是对两个时钟的世界线长度不同这一简单事实的简单陈述而已，并不比普通空间中两条曲线的长度不同来得奥妙，更没有任何佯谬可言。这一点是如此的显而易见，以至于前面提到的《相对论与几何》一书的作者托雷提感慨道：“相对论时钟是类时世界线上的里程表，假如人们对这一事实有过更多关注，那么在所谓时钟佯谬上付出过的很多努力就可以省掉了。”
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但话虽如此，如果我们在这里就结束本文，有些读者也许会感到失望，因为在时钟佯谬的传统讨论中，人们曾花大力气讨论运动时钟参照系，试图说明该参照系也能理解运动时钟变慢这一结论。即便那些努力如今“可以省掉了”，但若不把那最令人困惑的运动时钟参照系单独拿出来，更直接地讨论一下，似乎多少有些偷懒的感觉。为了“抚平”这种感觉，我们再多说几句。
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图3 时钟佯谬的时空图
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如前所述，在时钟佯谬的现代解释中，运动时钟之所以慢了，原因是它的世界线长度较短。如果画出时空图的话，静止时钟的世界线是直线，运动时钟的世界线是曲线（参阅图3），两者起始点相同，但曲线的长度较短（因为是闵科夫斯基空间）。这一切当然都是几何语言。那么，在这种语言中运动时钟参照系是什么呢？它就是把运动时钟的世界线视为直线，而把静止时钟的世界线视为曲线的坐标系。这种坐标系其实我们并不陌生，它就是曲线坐标系——把运动时钟的世界线作为时间轴的曲线坐标系。明白了这一点，运动时钟参照系里的问题就迎刃而解了，因为曲线坐标系虽然完全合法，而且确实能在表观上使两条世界线的“曲”、“直”互换，却不会改变它们的长度，从而不会改变时钟佯谬的结论，因为曲线坐标系有一个众所周知的“副作用”，那就是会改变度规的形式，使之不再是闵科夫斯基度规ds2 =ημνdxμdxν或欧几里得度规ds2 = δijdxidxj。比如极坐标下的度规是ds2 =dr2+r2dθ2而不是ds2=dr2+dθ2。正是这种度规改变抵消了“曲”、“直”互换的影响，使得长度不变，从而保证了时钟佯谬的结论不变[6]。
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当然，这一切其实就是对“长度是坐标变换下的不变量”这一简单事实的繁琐说明，只不过这样一说明，或许显得更像是“解释”而已。另外，它也示范了一种方法，即当我们对时钟佯谬的某个方面感到困惑时，想想它在几何语言下的对应，以及在普通空间中的类比，往往会豁然开朗。
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在本节的最后，我们评论一下“时钟佯谬需要用广义相对论来解释”这一流传很广的观点。很明显，时钟佯谬的现代解释并不支持这种观点。时钟佯谬作为闵科夫斯基空间中的现象，是完全可以，并且也应该用狭义相对论来解释的——正如上述现代解释所做的那样。事实上，在闵科夫斯基空间中无论采用什么参照系或坐标系，都不可能使四维曲率张量非零，从而不可能出现曲率意义下的引力场。不仅如此，迄今为止除上述现代解释外，对时钟佯谬的任何其他解释都是针对特例或近似的。比如朗之万和冯·劳厄的解释通常只被用于运动时钟匀速远离，再匀速飞回的特例；爱因斯坦的解释则往往要采用广义相对论的弱场近似。与之相比，时钟佯谬的现代解释完全不受那些特例或近似的约束，从而有极大的普适性。哪怕两个时钟都作任意复杂的类时运动，现代解释依然适用（传统解释则会变得苦不堪言）。甚至当我们把时钟佯谬的舞台由闵科夫斯基空间搬到更复杂的空间，从而越出狭义相对论的范围时，现代解释依然适用（只需增添一个非平凡的背景度规即可）[7]。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 三、关于理想时钟
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在结束本文前，我们还要讨论一个衍生话题：什么是时钟？之所以要讨论这个话题，是因为时钟佯谬的传统解释，尤其是爱因斯坦的思路，很容易产生一个与“什么是时钟？”密切相关的问题，那就是加速度究竟会不会对时钟产生影响？关于这个问题，许多现代教材及专著——比如前面提到的托雷提、塞克斯尔、伦德勒、米斯纳等人的著作——都给出了明确回答，我们在这里作一个简单介绍。
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首先要指出的是，对于具体的时钟来说，这个问题的答案显然与时钟的结构有关（而且大都是肯定的），比如对加速场中的摆钟来说，加速度越大，摆动的周期就越短，如果我们用这种摆钟的摆动次数来计时，加速度对它显然是有影响的。又比如对人来说，如果我们将生理节律作为时钟——就像郎之万所做的那样，它显然也会受加速度影响，在足够大的加速度下——对飞行员来说是10g以上，对本文作者来说估计5g就够了——甚至会“停止计时”（一命呜呼）。不仅宏观世界的时钟如此，曾被用来验证相对论的原子钟，严格讲也是会受加速度影响的，因为它的能级结构与包括加速场在内的各种外场有关。甚至连最早对时钟延缓效应作出实验判决的μ子的衰变，我们也并不肯定它不会受加速度影响。只不过，对于微观世界的时钟来说，与它内部的微观相互作用相比，加速场的影响往往是微乎其微的，因此当我们采用微观世界的时钟时，通常都能忽略加速度的影响。
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但无论加速度对具体时钟的影响是有还是无，是大还是小，有一点是肯定的，那就是我们并不认为像摆钟受加速度影响，或本文作者在5g的加速度下“停止计时”那样的效应反映了时间的固有性质。相反，我们认为那是具体时钟的缺陷导致的表观效应，是可以、并且必须校正的。我们真正关心的是反映时间本质的时钟，即所谓的理想时钟。本文所说的时钟除非有特别说明，指的也全都是理想时钟。
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因此我们的问题其实是：什么是理想时钟？对此，相对论——无论狭义相对论还是广义相对论——的回答是：理想时钟是记录自己世界线长度的时钟。这是理想时钟的定义，被托雷提称为“时钟假设”（clock hypothesis）。不难证明，对于时钟佯谬所涉及的闵科夫斯基空间的时钟来说，这一定义给出的理想时钟与瞬时随动惯性系（momentarily co-moving inertial frame）里的时钟完全同步（请读者自行证明）[8]。由此，我们也得到了“加速度究竟会不会对时钟产生影响？”的答案，那就是加速度对理想时钟没有影响。
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细心的读者也许已经注意到了，上述理想时钟的定义其实正是前面提到过的时钟佯谬现代解释的要点，即“时钟记录的是自己的世界线长度”。时钟佯谬的现代解释之所以有极大的普适性，一个很根本的原因就是它实际上包含了理想时钟的定义。
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在本文的最后，给感兴趣的读者留两组思考题：
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（1）人们常说的“引力场中的时钟较慢”究竟是什么意思？把它与等效原理合在一起，是否会得出与“加速度对理想时钟没有影响”相矛盾的结论？
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（2）在理想时钟的定义中，只校正了加速度的影响，这是否是一种随意选择？能否把速度的影响也像加速度的影响一样校正掉？
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