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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611273]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、爱因斯坦-嘉当理论
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刚才我们提到，有自旋粒子在引力场中的运动会与曲率相耦合，从而能用来局域地区分引力场与加速场。这一讨论只涵盖了与引力有关的有自旋粒子问题的一半——即有自旋粒子在给定的引力场中会如何运动。现在，我们来考虑问题的另一半，即有自旋粒子本身会产生什么样的引力场。这是一个性质很不相同的问题，因为有自旋粒子在给定的引力场中的运动——如前所述——不会对广义相对论的结构产生根本性的影响，而有自旋粒子本身产生的引力场，则——如我们即将看到的——虽非必然，却很有可能把我们引向不同于广义相对论的理论，比如爱因斯坦-嘉当（Einstein-Cartan）理论。
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我们知道，对所有具有能量动量起源的角动量Jabc = xaTbc - xbTac来说，能量动量张量Tab的守恒（即ǝaTab）与对称（即Tab=Tba）保证了角动量的守恒（即ǝaJabc=0）。这种角动量被称为轨道角动量，它涵盖所有的经典角动量（包括经典意义下的“自旋”——即自转角动量）。另一方面，我们也知道，并非所有的角动量都具有能量动量起源，比如量子意义下的自旋就不具有能量动量起源（因为一个有自旋粒子完全可以是无质量的）。如果我们把这种所谓“内禀”（即不具有能量动量起源）的角动量记为Sabc，则总角动量可以表示为Jabc=Sabc+xaTbc-xbTac。这时角动量守恒ǝaJabc=0将会要求
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ǝaSabc = Tcb - Tbc
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这一式子表明，除非内禀角动量单独守恒（即ǝaSabc=0），否则能量动量张量将是非对称的（即Tab≠Tba）。由于内禀角动量显然并不单独守恒，因此上式中的能量动量张量是非对称的。
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如果能量动量张量非对称，那么爱因斯坦场方程Gab=8πTab将要求爱因斯坦张量Gab也是非对称的。这表明时空几何将不会是单纯的黎曼几何（Riemannian geometry）。使Gab非对称的一种最简单的方案，就是引进非零的时空挠率（torsion）。由此产生的最简单的理论就是所谓的爱因斯坦-嘉当理论，是法国数学家嘉当（Élie Cartan）于1922年提出的。
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与纯度规性的广义相对论不同，爱因斯坦-嘉当理论是一种建立在仿射联络（affine connection）基础上的引力理论，在这种理论中等效原理不再成立（因为非零挠率使得联络系数全部为零的局域参照系不复存在）。爱因斯坦-嘉当理论中的这种带挠率的几何被称为黎曼-嘉当几何（Riemann-Cartan geometry）。爱因斯坦-嘉当理论的场方程则为
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不过，上述推理并不是唯一的。
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这不仅是因为使能量动量张量非对称的方法并不唯一（从而爱因斯坦-嘉当理论并不是唯一可能的推广），而且也是因为内禀角动量的出现及并不单独守恒这一特点并非必然导致能量动量张量的非对称性。事实上，通过对能量动量张量添加一个对运动方程没有影响的散度项，我们总可以将它改写为对称形式。这种对称形式的能量动量张量被称为贝林番特张量（Belinfante tensor）。有一种（比较常见的）观点认为，出现在爱因斯坦场方程中的能量动量张量应该是贝林番特张量[2]。显然，这可以使得爱因斯坦场方程的成立不受内禀角动量的影响。从这个意义上讲，目前并没有充分的理由——哪怕只是理论上的理由——使人们必须在经典范围内拓展广义相对论的框架。
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但是，将贝林番特张量引进爱因斯坦场方程的做法也并不是完全令人满意的。比如它使得表示角动量的能量动量起源的关系式Jabc=xaTbc-xbTac具有了完全的普遍性，而我们在前面提到过，量子意义下的自旋就不具有能量动量起源。因此，角动量与能量动量之间的这种关系式似乎不该具有那么大的普遍性，起码不该将量子意义下的自旋包括在内。而一旦认定量子意义下的自旋是一种与能量动量无关的角动量，那它对时空的影响就没有理由被包含在能量动量对时空的影响——即爱因斯坦场方程——之中。
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另一方面，我们也不能简单地把自旋对时空的影响从理论中丢弃掉，因为虽然尚不存在自旋对时空产生影响的任何观测证据（考虑到自旋的微小，这是不足为奇的），但由于轨道角动量对时空的影响是广义相对论的确凿推论，在理论上单单把自旋对时空的影响丢弃掉无疑是极不自然的。这些都表明爱因斯坦-嘉当理论对自旋的处理——即既承认它对时空有影响，又不把这种影响归结于能量动量——是有一定合理性的。
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除此之外，爱因斯坦-嘉当理论还有其他一些值得探讨的特点，比如它可以将时空流形切空间上的结构群从广义相对论中的洛伦兹群（Lorentz group）推广到庞加莱群（Poincaré group）——这是嘉当提出这一理论的原始动机之一（我们所提及的量子意义下的自旋在当时尚未被发现），又比如它有可能对（部分地）消除广义相对论中的奇点问题起到一定帮助，等等。
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不过，所有这些合理性及值得探讨的特点，都未能使爱因斯坦-嘉当理论得到太多的关注。原因在我看来有不止一条：比如爱因斯坦-嘉当与广义相对论的差别涉及到了像自旋这样的量子效应，从而不仅现在，哪怕将来也几乎没有任何可能得到直接的观测支持（引力在这种尺度上太过微弱）。此外，像有自旋粒子产生的引力场那样的问题，由于场源的量子特征无法忽略，很可能根本就不能用经典理论来处理[3]。假如经典理论根本就不能用，那么将广义相对论推广为爱因斯坦-嘉当理论的做法，也许就像当年索末菲（Arnold Sommerfeld）将玻尔理论推广为相对论性那样，缺乏真正的重要性。
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2006年7月30日写于纽约
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2014年12月13日最新修订
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[1]这里需要注意的是，所谓“有自旋粒子”指的是量子场论意义下的有自旋的点粒子，因为这里所借重的是量子场论意义下的“自旋”和“点粒子”这两个概念——假如所讨论的不是这种概念，而是有限大小的经典旋转物体，则与等效原理的成立与否无关（因为它不是局域的）。从某种意义上讲，这是在通过量子效应来局域地区分引力场与加速场。
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[2]支持这种观点的一个重要理由是：从引力场的作用量原理所导出的场方程自动具有对称形式的能量动量张量。对这一点感兴趣的读者可参阅拙作《希尔伯特与广义相对论场方程》的第3节——收录于本书的“姊妹篇”《小楼与大师：科学殿堂的人和事》（清华大学出版社，2014年）。
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[3]比方说，用广义相对论的克尔（Kerr）解来描述一个质量为m，自旋为J的微观粒子，将自旋视为角动量，则度规会在接近粒子康普顿波长（Compton wavelength）的J/m处出现所谓的“裸奇环”。我们且不去理会那个很令人头疼的“裸”字——别想歪了，这是一个技术字眼，对之感兴趣的读者请参阅拙作《从奇点到虫洞》的第4章（清华大学出版社，2013年），在接近粒子的康普顿波长处出现像“奇环”那样的奇异性显然是不可接受的，也是与粒子物理实验完全矛盾的。虽然对微观粒子来说，我们原本就不该对经典描述有太多期待，但康普顿波长是经典与量子效应的分水岭，经典度规在“分水岭”上就出现如此巨大的问题，无疑是非常奇怪的，也是与引力在微观世界中的微弱性很不一致的。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 黑洞略谈[1]
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如果要在科学术语当中评选几个最吸引大众眼球的术语，黑洞（black hole）无疑会名列前茅。这个试图用引力把自己遮盖得严严实实的家伙不仅频繁出没于科幻故事中，而且在新闻媒体上也有不低的出镜率。前不久，一条有关美国国家航空航天局（The National Aeronautics and Space Administration, NASA）的“钱德拉”X射线太空望远镜（Chandra X-ray Observatory）发现“最年轻黑洞”的新闻就被媒体竞相转载。而有关大型强子对撞机（Large Hadron Collider, LHC）有可能因产生微型黑洞而毁灭地球的传闻，更是不仅在过去几年时间里反复出现在各大媒体的显著位置上，而且还将美国和欧洲的司法界都卷入其中——因为有人试图通过法律手段来制止对撞机的启用，以“拯救”地球。在对撞机开始试运行的2008年9月，在印度甚至还发生了“一个‘黑洞’引发的血案”——一位16岁的花季女孩据说因担心微型黑洞毁灭世界而自杀。
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这个搅起了如此风波的黑洞究竟是什么东西呢？我们就围绕这两组新闻来谈谈它吧。