1707613498
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611317]
1707613499
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 四、接近光速
1707613500
1707613501
前面说过，这个星际旅行系列主要是为了讨论未来的星际旅行技术而写的，因此，在这里我们也要把目光放远些，看看上节讨论的火箭动力学在火箭速度持续提高，乃至接近光速时会如何。截至2013年7月，人类发射的航天器中飞得最远的是1977年9月5日发射的“旅行者一号”（Voyager 1）。经过近36年的漫长飞行，它已经飞到了离太阳约187亿千米处，远远超出了太阳系已知最外围的行星——海王星，或曾经最外围的行星——冥王星——的轨道。但是，这个距离跟离太阳最近的恒星——半人马座比邻星（Proxima Centauri）——的距离相比，还不到万分之五。由此可见，人类要想走得更远，必须要有更快的航天器。在齐奥尔科夫斯基公式中火箭的速度是没有上限的，通过提高喷射物的喷射速度，通过增加火箭质量中喷射物所占的比例，火箭在原则上可以达到任意高的速度。但是，这一点显然是错误的，因为物体的运动速度不可能超过光速，这是相对论的要求[11]。这表明，当火箭的运动速度接近光速时，齐奥尔科夫斯基公式将不再成立。那么，有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式，在火箭运动速度接近光速时仍成立呢？这就是本节所要讨论的问题。
1707613502
1707613503
首先，简单的答案是：这样的公式是存在的。事实上，这样的公式不仅存在，而且并不复杂，因此我们干脆在这里把它推导出来，以满足大家的好奇心。这一推导所依据的基本原理仍然是动量守恒定律，我们也仍然在火箭参照系中计算火箭速度的增量。这里要补充说明的是，所谓火箭参照系，指的是所考虑的瞬间与火箭具有同样运动速度的惯性参照系（因此在不同的时刻，火箭参照系是不同的）。我们用带撇的符号表示火箭参照系中的物理量（这是讨论相对论问题的惯例）。与上节的讨论相仿，假设火箭在单位时间内喷射的物质质量为—dm’/dt’（m’为火箭质量，dm’/dt’<0），喷射物相对于火箭的速度大小为u（方向与火箭飞行方向相反），则在时间间隔dt’内，火箭的速度会因为喷射而得到一个增量dv’。依据动量守恒定律，在火箭参照系中可以得到
1707613504
1707613505
m’dv’=—udm’
1707613506
1707613507
这里dm’为喷射物的相对论质量（运动质量），这一公式对于u接近甚至等于光速的情形也成立[12]。在非相对论的情形下，上面所有带撇的物理量都等于静止参照系（地心参照系）中的物理量，因此对上述公式可以直接积分，这种积分的含义是对上式中的速度增量进行累加。但在相对论中，速度合成的规律是非线性的，把这些在不同时刻——因而在不同参照系中——的速度增量直接累加是没有意义的，因此上述速度增量必须先换算到静止参照系中才能积分。
1707613508
1707613509
运用相对论的速度合成公式，dv’所对应的静止系中的速度增量为
1707613510
1707613511
1707613512
1707613513
1707613514
将这一结果与在火箭参照系中所得的关于dv’的公式联立可得
1707613515
1707613516
1707613517
1707613518
1707613519
对这一公式积分，并进行简单处理，便可得到
1707613520
1707613521
1707613522
1707613523
1707613524
其中火箭的初始质量mi与推进过程完成后的质量mf都是在火箭参照系中测量的。这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。对于低速运动的火箭，（u/c）ln（mi/mf）<
1707613525
1707613526
1707613527
上述公式的一个特例是u=c的情形，即喷射物为光子（或其他无质量粒子）的情形。这种火箭常常出现在科幻小说中，通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。对于这种情形，上述公式简化为：。如果将火箭90%的质量转化为能量作为动力，火箭的飞行速度可以达到光速的99%。
1707613528
1707613529
1707613530
1707613531
1707613532
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611318]
1707613533
因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 五、飞向深空
1707613534
1707613535
宇宙的浩瀚是星际旅行家们所面临的最基本的事实。即使能够达到接近光速的速度，飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。比如从太阳系出发，到银河系中心大约要3万年，到仙女座星云（Andromeda Galaxy，也称为M31，为河外星系）大约要220万年，到室女座星系团（Virgo，为河外星系团）大约要6 000万年……相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说这些时间显然是太漫长了。但是且慢悲观，因为我们还有一个因素可以依赖，那就是相对论的时钟延缓效应。在相对论中运动参照系中的时间是由所谓的“本征时间”来表示的，它与静止参照系中的时间之间的关系为
1707613536
1707613537
1707613538
1707613539
1707613540
把这个公式运用到火箭参照系中，τ就是宇航员所感受到的时间流逝。很显然，火箭的速度越接近光速，宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。考虑到这个因素，宇航员是不是有可能在自己的有生之年到银河系中心、仙女座星云、甚至室女座星系团去旅行呢？下面我们就来计算一下。
1707613541
1707613542
我们考虑一个非常简单的情形，即火箭始终处于匀加速过程中。当然这个匀加速度是在火箭参照系中测量的。为了让宇航员有“宾至如归”的感觉，我们把加速度选为与地球表面的重力加速度一样，即g。用数学语言表示：
1707613543
1707613544
1707613545
1707613546
1707613547
把这一加速度变换到静止参照系（地心参照系）中可得