1700504150
1700504151
1700504152
1700504153
1700504154
Fi是质点受到的各个力，都是矢量；是指合力；v是运动速度，是矢量；t是时间；是v对t求导，也就是速度的变化率。速度变化率为0，表示要么静止，要么是匀速直线运动。
1700504155
1700504156
（2）牛顿第二运动定律：动量为p的质点，在外力F的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同。
1700504157
1700504158
1700504159
1700504160
1700504161
p和F都是矢量。我们平时应用更多的是
1700504162
1700504163
1700504164
1700504165
1700504166
1700504167
1700504168
两者从数学关系上的区别仅仅是“在中m不能为0”——在经典物理力学的范畴中，质量m也确实不可能为0，但是从因果关系上对“加速度a是由外力F和质量m来决定”的解释更为直观一些。
1700504169
1700504170
p=mv
1700504171
1700504172
所以，化简得到
1700504173
1700504174
1700504175
1700504176
1700504177
（3）牛顿第三运动定律：相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
1700504178
1700504179
F12=-F21
1700504180
1700504181
F12和F21都是矢量，负号仅仅表示两者方向相反，F12表示质点2受到的质点1的作用力，F21表示质点1受到的质点2的作用力。
1700504182
1700504183
牛顿三大定律是我们在中学物理课上的必学内容，也是量化宏观低速物理中最为经典的力学内容。不管当初牛顿是不是因为被苹果砸了脑袋才想出了三大定律，他的研究发现终究成为后世机械、航空、制造等诸多现代化工业领域的基石，可谓功不可没。
1700504184
1700504185
数据科学家养成手册 [:1700503492]
1700504186
1.4.2 极限和微积分
1700504187
1700504188
除了牛顿三大定律，在大学理工科专业必学的微积分同样与牛顿的理论研究有着非常重要的关系。
1700504189
1700504190
从17世纪开始，随着欧洲社会的进步和生产力的发展，以及航海、天文等许多领域有大量新问题需要解决，数学也开始研究变化量，进入了“变量数学”时代。在17世纪有数十位科学家为微积分的创立进行了开创性的研究，但使微积分逐步体系化并成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨(11)这两位数学家。在前面我们提到的阿基米德计算圆面积的过程中已经包含了这种“从有穷到无穷”的逼近思想，这或许就是微积分思想最为原始的萌芽吧。在那个时代，不仅在西欧，在中国同样有智者在用类似的方式计算圆的面积。
1700504191
1700504192
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽（约公元225年～295年，如图1-16所示）首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法（如图1-17所示）。
1700504193
1700504194
1700504195
1700504196
图1-16 刘徽 图1-17 刘徽割圆术示意图 根据刘徽的记载，此前人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用“出入相补”原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》中的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种“合径率一而弧周率三也”（即后来常说的“周三径一”）的论证当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补无法证明《九章算术》中所述的圆面积公式。因此，刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。也就是说，将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再增加的时候，圆内接正多边形面积的极限就是圆面积。
1700504197
1700504198
刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂”是后一次与前一次割圆的差值，可以用图1-17中小灰色三角形面积的倍数来表示。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘以正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。他认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣”。也就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了，因此圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是，内外两侧序列都趋向于同一数值，即圆面积。
1700504199