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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）及有关概念和应用的数学分支，是数学的一个基础学科。微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用等。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括求积分的一系列运算，为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法。
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牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》（Methodus Fluxionum Et Serierum Infinitarum）一书，但这本书直到1736年才出版。牛顿在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前他认为的变量是无穷小元素的静止集合。牛顿把连续变量称为流动量，把这些流动量的导数称为流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程（积分法）。
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（如图1-18所示）也是为微积分理论的创立立下不朽功勋的大数学家。其实，牛顿和莱布尼茨的研究是独立进行的，并在相近的时间先后完成。比较特殊的是，牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿早3年。他们的研究各有长短。在那时，由于民族偏见，关于微积分发明优先权的争论竟从1699年开始延续了100多年。
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图1-18 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
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我们现在一直使用的积分符号 其实是莱布尼茨创造的。
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（1）定积分
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如果f(x)在 [a, b] 上连续，并且存在原函数F(x)，那么
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也可以写作
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这个公式也叫作“牛顿-莱布尼茨”公式，是定积分含义的公式体现。
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（2）微分
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设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx，在此区间内如果增量
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可以表示为
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其中，A是不依赖Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫作函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即
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以一元函数f(x)为例，设y=f(x)，有
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