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1700504200 微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)及有关概念和应用的数学分支,是数学的一个基础学科。微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用等。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括求积分的一系列运算,为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法。
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1700504202 牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》(Methodus Fluxionum Et Serierum Infinitarum)一书,但这本书直到1736年才出版。牛顿在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前他认为的变量是无穷小元素的静止集合。牛顿把连续变量称为流动量,把这些流动量的导数称为流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度,求给定时间内经过的路程(积分法)。
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1700504204 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(如图1-18所示)也是为微积分理论的创立立下不朽功勋的大数学家。其实,牛顿和莱布尼茨的研究是独立进行的,并在相近的时间先后完成。比较特殊的是,牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右,但正式公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿早3年。他们的研究各有长短。在那时,由于民族偏见,关于微积分发明优先权的争论竟从1699年开始延续了100多年。
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1700504212 图1-18 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
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1700504214 我们现在一直使用的积分符号 其实是莱布尼茨创造的。
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1700504216 (1)定积分
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1700504218 如果f(x)在 [a, b] 上连续,并且存在原函数F(x),那么
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1700504223 也可以写作
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1700504228 这个公式也叫作“牛顿-莱布尼茨”公式,是定积分含义的公式体现。
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1700504230 (2)微分
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1700504232 设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+Δx,在此区间内如果增量
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1700504237 可以表示为
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1700504242 其中,A是不依赖Δx的常数,那么称函数y=f(x)在点x0是可微的,而AΔx叫作函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即
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1700504247 以一元函数f(x)为例,设y=f(x),有
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