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1889年冬天，评审团准备将庞加莱的论文在数学杂志上发表。文章已经印好，而且送到了当时最有名的一些数学家那里。就在这时，负责校对的一位年轻数学家发现文章中有一些地方的证明不够清楚，建议庞加莱补充一段解释。于是，庞加莱开始重新深入研究这一部分。
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庞加莱发现，越是深入研究小尘埃的轨道在奇点附近的性质形态，问题就越多。情况有些类似80多年后MIT的气象学家洛伦茨（10.1节提到过）面对的困境。当然，庞加莱不如洛伦茨幸运，没有条件在计算机屏幕上显示奇异吸引子的曲线。但是，庞加莱却以他超乎常人的思维和想象能力在自己的头脑中构造出了限制性三体问题的某些奇特解的雏形。从解的奇特行为中，庞加莱看到了当今人们所说的“混沌现象”。但局限于当时的经典世界观，他未能完全理解得到的结果，只能带着迷惑感叹：“无法画出来的图形的复杂性令我震惊！”
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庞加莱意识到，既然解的图形复杂得无法画出来，那么在原来的论文中，不仅包含像那个校对论文的年轻数学家所说的那种“证明不够清楚”的小问题，甚至可能包含“错误”。于是，他赶快通知米塔-列夫勒，收回已经印好的杂志并予以销毁，同时大刀阔斧地修改和赶写论文。直到第二年，1890年10月，庞加莱长达270页的新版论文才发表出来。
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庞加莱庆幸对论文做了这一重要的修正。而且，正是这个“错误”，使庞加莱重新研究和思考方程的解的状况，改正了一个稳定性定理，并最终使他发现了同宿交错网。
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庞加莱发现，即使是对简化了的限制性三体问题，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态也会非常复杂，以至于对给定的初始条件，几乎没有办法预测当时间趋于无穷时这个轨道的最终命运。而这种对轨道的长时间行为的不确定性，就是我们现在所说的混沌现象。
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混沌现象的产生原因是：在解析解无法给出的情况下在迭代中使用数值解，并由于数值解精确程度的问题产生的求解收敛到不一致的值的问题。只要使用迭代的方式建模，并使用精度有限的数值作为初始值，这种现象就无法避免。直到今天，这个问题也是科学家们热衷研究的一类问题。
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数据科学家养成手册 10.6 未知居然还能做预测
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说了这么多，大概会勾起许多人的悲观情绪。混沌既然是一种客观现象，而且人类到现在都无法克服它，是不是意味着不能做预测了呢？
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实际上，有这种情绪的人放大了混沌对预测的影响范围。要知道，在认知归纳的过程中，只要人们把足够多的因素放到模型中，经过相对精确的测算，进行相对短时间内的预测还是比较现实的。
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不是因为别的，只是因为在短时间内，当初始值的给定误差足够小的时候，它的结果还不至于“偏”出太远。所以我们看到，现在很多基于科学的归纳认知方式进行的预报在短期内基本能够应验，例如未来1小时天气预报、未来24小时天气预报，以及近距离的交通流量预报（避免拥堵）等。在目前的计算能力和观测条件下，这些预测的准确性比较高。
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即使不能以非常精确和确实的数字给出预测结果，也可以用基于统计的概率性结论给出预测结果，这同样对人类的生产和生活有意义，因此完全没有必要悲观。
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数据科学家养成手册 10.7 本章小结
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这一章的小结是非常难写的。混沌理论从正式提出到现在已经过去半个多世纪了，人们一直在尝试研究它。
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在研究混沌现象的过程中，人们都是通过微分方程组或者动力方程去解析一个系统，而在这个过程中自然无法克服被引入的非线性因素及它们彼此叠加产生的效应。这也就导致用这种解析方式设立的系统模型会对初值非常敏感，当初值的某个向量有很小的变化时，在时间足够久的情况下，必然会引发预测的极大不准确性。
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这不禁让我想起“随机事件”这种同样让人难以把握的事情。
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随机事件是一种在观测中可能发生，也可能不发生的事情。随机事件有3个特点：第一，可以在相同的条件下重复进行；第二，每个试验的可能结果不止1个，并且能事先预测试验的所有可能结果；第三，进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
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在我看来，不论是“随机事件”还是“混沌理论”，都是一种对事物发生规律的解释，而且都是在认知达到一定程度，在有限的感知维度中对世界作出的解释理论。我们再详细讨论一下对这些事情的认知方式。
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就拿随机事件来说，人们看到一个六面的骰子扔出去，得到1～6之间的点数。随着投掷次数的增加，每个点数出现的次数都会占总投掷次数的左右。确实，对某次投掷来说，得到的点数是不确定的，但是在大量投掷实验中，统计出来的比例是相对确定的。这种对于随机事件的研究就有了它的科学性——精确性、体系性、应验性都很好。
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也有一派观点指出，这种“随机性”其实不是真的随机，因为在骰子被丢出去的一瞬间，如果能将当时的空气温湿度、空气密度、空气流动速度、重力加速度，骰子自身所有的描述参数（例如骰子的质量、骰子的体积、投出的角度、投出点距离地面的高度、投出时的速度、骰子投出时旋转的方向和速度），地面与骰子接触时因为碰撞所产生的弹射及能量损失变化的描述，以及骰子与地面发生相对摩擦时所损失能量的描述等因素，都列入一个完整的微分方程组进行求解——如果想让基于这个观测所归纳出来的结论尽可能准确，就要尽可能多地引入与此相关的因素——只要这些值的测量都足够精确，模型建立适当，那么对某一次投出的结果预测就还是高度精确的。可是，在我们不知道这些条件的全部或者部分的情况下，如果还想对这类事件进行描述，就可以使用完全基于统计的认知方式。这不得不说是人类在认知这件事情上，在高度精确和高度简洁两个极端作了一个折中式的妥协，或者说，无边无际的未知和有限的人类大脑给出了这样一个适合“懒人”的办法。因为人类的认知能力永远无法把“一切”可以引入的因素全都引入，所以，即使我们认识到“应该引入”，但由于主客观原因无法引入的因素也都会在我们难以量化其影响的情况下影响着认知结果——真是个可怕的结论。
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混沌现象呢？也不例外。
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