1700511190
2p(1-p)
1700511191
1700511192
其中，第1枚未命中且第2枚命中的概率为p(1-p)，第1枚命中且第2枚未命中的概率也为p(1-p)，这样得到的总命中率为2p(1-p)。
1700511193
1700511194
命中0艘商船的概率为
1700511195
1700511196
(1-p)2
1700511197
1700511198
发射第3枚鱼雷时，命中3艘商船的概率为
1700511199
1700511200
p3
1700511201
1700511202
命中2艘商船的概率为
1700511203
1700511204
3p2(1-p)
1700511205
1700511206
其中，同时满足第1枚命中、第2枚命中、第3枚未命中的概率为p2(1-p)；同时满足第1枚命中、第2枚未命中、第3枚命中的概率为p2(1-p)；同时满足第1枚未命中、第2枚命中、第3枚命中的概率为p2(1-p)。3p2(1-p)由这3种情况的概率相加而得。
1700511207
1700511208
命中1艘商船的概率为
1700511209
1700511210
3p(1-p)2
1700511211
1700511212
其中，同时满足第1枚命中、第2枚未命中、第3枚未命中的概率为p(1-p)2；同时满足第1枚未命中、第2枚命中、第3枚未命中的概率为p(1-p)2；同时满足第1枚未命中、第2枚未命中、第3枚命中的概率为p(1-p)2。3p(1-p)2由这3种情况的概率相加而得。
1700511213
1700511214
命中0艘商船的概率为
1700511215
1700511216
(1-p)3
1700511217
1700511218
……
1700511219
1700511220
这样一个一个排下去。为了统计方便，我们做一个表格来看一下（如表18-2所示）。
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表18-2 5枚鱼雷遭遇5艘商船组成的编队
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1700511227
展开到5层，看得就比较清楚了，纵列表示发射的鱼雷数，横列表示击沉船只的概率，其中的规律也非常明显，系数是一个典型的贾宪三角。如图18-29所示，14枚鱼雷遭遇14艘船只（也就是盟军舰船充足）的情况下，不会出现鱼雷没有打完时商船全部沉没的情况。
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1700511229
关于二战时期德国鱼雷的命中率问题，我查了很多相关资料，但没有得到比较可靠的数据，只是在和军事发烧友讨论的过程中听到了一些相对信服人数比较多的数据——大约30％。在找到更权威的数据之前，将p=30％代入看看。
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可以看到，在命中率为30％的前提下，14艘舰船的编队被搭载14枚鱼雷的U型潜艇“团灭”的概率只有4.78 ×10-8，这是一个几乎可以视为0的数字了。而平均每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的舰船数量仅为1.48艘（这与Blackett的估算值有差异，产生差异的原因应该是p的取值不同），概率最大的情况是击沉7艘舰船，只占7％左右。从数学计算上来看，这种情形已经非常理想了。如果14艘舰船分成14个单独的编队，那么每条船被击沉的概率可是要乘以14的。
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图18-29 命中率为30％的情况
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即使击沉概率p上升到50％（对于鱼雷来说这个命中率已经非常高了），整个方案也会输出一个不太坏的值（如图18-30所示），“团灭”的概率只有6.10 ×10-5，每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的盟军舰船的平均数量也不过为3.75艘。
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