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这样一个一个排下去。为了统计方便，我们做一个表格来看一下（如表18-2所示）。
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表18-2 5枚鱼雷遭遇5艘商船组成的编队
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展开到5层，看得就比较清楚了，纵列表示发射的鱼雷数，横列表示击沉船只的概率，其中的规律也非常明显，系数是一个典型的贾宪三角。如图18-29所示，14枚鱼雷遭遇14艘船只（也就是盟军舰船充足）的情况下，不会出现鱼雷没有打完时商船全部沉没的情况。
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关于二战时期德国鱼雷的命中率问题，我查了很多相关资料，但没有得到比较可靠的数据，只是在和军事发烧友讨论的过程中听到了一些相对信服人数比较多的数据——大约30％。在找到更权威的数据之前，将p=30％代入看看。
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可以看到，在命中率为30％的前提下，14艘舰船的编队被搭载14枚鱼雷的U型潜艇“团灭”的概率只有4.78 ×10-8，这是一个几乎可以视为0的数字了。而平均每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的舰船数量仅为1.48艘（这与Blackett的估算值有差异，产生差异的原因应该是p的取值不同），概率最大的情况是击沉7艘舰船，只占7％左右。从数学计算上来看，这种情形已经非常理想了。如果14艘舰船分成14个单独的编队，那么每条船被击沉的概率可是要乘以14的。
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图18-29 命中率为30％的情况
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即使击沉概率p上升到50％（对于鱼雷来说这个命中率已经非常高了），整个方案也会输出一个不太坏的值（如图18-30所示），“团灭”的概率只有6.10 ×10-5，每次（数学期望）将14枚鱼雷射出，击沉的盟军舰船的平均数量也不过为3.75艘。
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而我们刚刚讨论过，大编队的好处是让U型潜艇碰到盟军舰船的概率降低。理论上，编队越大，“收益”越好。在刚刚这个例子中，14艘舰船组成一个编队被发现的概率是14艘舰船每艘单独编队被发现的概率的（也就是原来被发现概率的大约7.1％）。
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图18-30 命中率为50％的情况
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在采纳这项建议后，盟军的很多商船先在飞机和军舰能够保护的近海范围内集结，集体通过相对危险的海域，在到达距离不列颠岛比较近的海域后分散开来，向各自的目标港口驶去，盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％下降为1％，大大降低了损失。
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1943年以后，盟军的飞机和护航舰船的反潜能力由于声呐和雷达技术的改进而获得了很大提升，大量的飞机和军舰也投入到护航和反潜的任务中，盟军在北大西洋的舰船损失降低了65％，北大西洋上的盟军优势完全不可逆转。而到了1944年，只有200艘舰船被击沉。第二次世界大战期间，德国的1188艘潜艇击沉了3500艘舰船，造成45000人死亡。到战争结束时，有781艘德国潜艇被盟军击沉。
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数据科学家养成手册 [:1700503694]
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18.2.3 数学家的天下
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英军船队在大西洋航行时，经常受到德军潜艇的攻击。因为深水炸弹是根据定深来引爆的，而不知道潜艇的具体下潜深度会使得定深非常不准，进而导致中率大大降低，因此英国空军的轰炸对潜艇几乎不构成威胁。为解决这一问题，英军请来一些数学家进行专门研究，发现潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸时只下潜了7.6米，而在这段时间里炸弹往往已经下沉到水面以下21米处。经过科学的论证，英军尝试调整深水炸弹的定深，使爆炸深度从水下21米减为水下9.1米，攻击效果较过去提高了4倍，这也使德军误以为英军发明了新式炸弹。
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此外，空军方面也有一些通过战损分析进行战术改进的事例。
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当德国对法国等几个国家发动攻势时，英国首相丘吉尔应法国的请求，动用了十几个防空中队和德军作战。这些防空中队必须由大陆上的机场来维护和操作。在与德军的空战中，英军飞机损失惨重。与此同时，法国总理请求英国增派10个防空中队，丘吉尔决定同意这一请求。英国内阁知道此事后，找来数学家进行分析预测，并根据出动飞机与战损飞机的统计数据建立了回归预测模型。研究发现，如果补充率和损失率不变，飞机数量的下降是非常快的，用一句话概括就是“以现在的损失率损失两周，英国在法国的‘飓风’式战斗机便一架也不存在了”，于是要求内阁否决这一决定。最终，丘吉尔同意了这一要求，并下令让除了留在法国的3个中队以外的飞机全部返回英国，为下一步的“英伦保卫战”保留了实力。
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数据科学家养成手册 [:1700503695]
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18.2.4 小结
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在这一节我们看到了一些真实的例子——用数学与数字拯救大量战士和百姓生命的例子。数字中确实蕴含着极为丰富的信息，只要能够合理解读它，就会激发其中蕴含的巨大能量。这还不够吸引人吗？
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大数据在近几年越来越火。我坚信，其中过度炒作的成分是少的，而未来在行业市场成熟后从其中获取巨大利益的需求才是真正的市场性需求。诚然，在数据科学本可以展现魅力的大数据市场，目前还存在很多问题，不论是基础建设还是人才的匮乏，都是比较尖锐的矛盾。不过，这不能阻止人们向这个理想中的目标奋勇攀登。爱上数据科学，以数据科学的思维方式来对待一切工作，我想这一天的到来真的不会太远了。
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